Номер 546, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

546. Точки O, A и B лежат на одной прямой. Докажите, что существует такое число k, что $\vec{OA} = k \cdot \vec{OB}$.

По условию задачи точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой. Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ имеют общее начало в точке $O$ и их концы, точки $A$ и $B$, лежат на той же прямой. Следовательно, векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ лежат на одной прямой, а значит, они коллинеарны.

Нам необходимо доказать, что существует такое действительное число $k$, для которого выполняется векторное равенство $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Точка $B$ не совпадает с точкой $O$ ($B \neq O$).

В этом случае вектор $\overrightarrow{OB}$ не является нулевым вектором, то есть $\overrightarrow{OB} \neq \vec{0}$, и его длина $|\overrightarrow{OB}| > 0$. Так как векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, возможны следующие ситуации:

• Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ сонаправлены ($\overrightarrow{OA} \uparrow\uparrow \overrightarrow{OB}$). Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от точки $O$ на прямой. В этом случае искомый коэффициент $k$ будет неотрицательным ($k \ge 0$). Для выполнения равенства $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$ их длины должны быть связаны соотношением $|\overrightarrow{OA}| = |k| \cdot |\overrightarrow{OB}| = k \cdot |\overrightarrow{OB}|$. Отсюда находим $k$: $k = \frac{|\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OB}|}$. Так как $|\overrightarrow{OB}| > 0$, такое число $k$ существует.

• Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ противоположно направлены ($\overrightarrow{OA} \uparrow\downarrow \overrightarrow{OB}$). Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $O$. В этом случае коэффициент $k$ будет отрицательным ($k < 0$). Из равенства длин $|\overrightarrow{OA}| = |k| \cdot |\overrightarrow{OB}| = (-k) \cdot |\overrightarrow{OB}|$ находим $k$: $k = - \frac{|\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OB}|}$. Такое число $k$ также существует.

2. Точка $B$ совпадает с точкой $O$ ($B = O$).

В этом случае вектор $\overrightarrow{OB}$ является нулевым: $\overrightarrow{OB} = \vec{0}$. Тогда равенство $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$ принимает вид $\overrightarrow{OA} = k \cdot \vec{0}$, что равносильно $\overrightarrow{OA} = \vec{0}$. Это означает, что точка $A$ также должна совпадать с точкой $O$ ($A=O$).

Если $A=O$ и $B=O$, то равенство имеет вид $\vec{0} = k \cdot \vec{0}$. Это равенство верно для любого действительного числа $k$. Например, можно взять $k=1$. Таким образом, и в этом случае число $k$ существует.

Итак, во всех возможных случаях, вытекающих из равенства $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$, мы показали, что такое число $k$ существует.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точки $O, A, B$ лежат на одной прямой, векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны. Из определения коллинеарных векторов и операции умножения вектора на число следует, что всегда можно найти такое число $k$, что $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$.