Страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

539. На отрезке AB длиной 18 см отметили точку C так, что BC = 6 см. Выразите:

1) вектор $\vec{AB}$ через вектор $\vec{AC}$;

2) вектор $\vec{BC}$ через вектор $\vec{AB}$;

3) вектор $\vec{AC}$ через вектор $\vec{BC}$.

По условию задачи, на отрезке $AB$ отмечена точка $C$. Это означает, что точки лежат на одной прямой в последовательности A, C, B. Длина отрезка $AB$ равна 18 см, а длина отрезка $BC$ равна 6 см.

Найдем длину отрезка $AC$:

$|AC| = |AB| - |BC| = 18 - 6 = 12$ см.

Так как все три точки лежат на одной прямой, векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Поскольку точка $C$ лежит между A и B, все три вектора направлены в одну сторону (сонаправлены). Это значит, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на положительное число (скаляр), равное отношению их длин (модулей).

1) выразите вектор $\vec{AB}$ через вектор $\vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены. Найдем отношение их длин:

$k_1 = \frac{|\vec{AB}|}{|\vec{AC}|} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Следовательно, вектор $\vec{AB}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ следующим образом:

$\vec{AB} = \frac{3}{2} \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AB} = \frac{3}{2} \vec{AC}$

2) выразите вектор $\vec{BC}$ через вектор $\vec{AB}$

Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Найдем отношение их длин:

$k_2 = \frac{|\vec{BC}|}{|\vec{AB}|} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Следовательно, вектор $\vec{BC}$ можно выразить через вектор $\vec{AB}$ следующим образом:

$\vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

3) выразите вектор $\vec{AC}$ через вектор $\vec{BC}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Найдем отношение их длин:

$k_3 = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{BC}|} = \frac{12}{6} = 2$

Следовательно, вектор $\vec{AC}$ можно выразить через вектор $\vec{BC}$ следующим образом:

$\vec{AC} = 2 \vec{BC}$

Ответ: $\vec{AC} = 2 \vec{BC}$

540. Дан вектор $\vec{a}(-4; 2)$. Найдите координаты и модули векторов $3\vec{a}$, $-\frac{1}{2}\vec{a}$, $\frac{3}{2}\vec{a}$.

$3\vec{a}$

Чтобы найти координаты вектора $3\vec{a}$, необходимо каждую координату исходного вектора $\vec{a}(-4; 2)$ умножить на скаляр 3.

$3\vec{a} = (3 \cdot (-4); 3 \cdot 2) = (-12; 6)$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Применим эту формулу для вектора $3\vec{a}(-12; 6)$:

$|3\vec{a}| = \sqrt{(-12)^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $(-12; 6)$, модуль $6\sqrt{5}$.

$-\frac{1}{2}\vec{a}$

Аналогично, для нахождения координат вектора $-\frac{1}{2}\vec{a}$, умножим координаты вектора $\vec{a}$ на $-\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}\vec{a} = \left(-\frac{1}{2} \cdot (-4); -\frac{1}{2} \cdot 2\right) = (2; -1)$.

Теперь найдем модуль полученного вектора $(2; -1)$:

$|-\frac{1}{2}\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Ответ: координаты $(2; -1)$, модуль $\sqrt{5}$.

$\frac{3}{2}\vec{a}$

Найдем координаты вектора $\frac{3}{2}\vec{a}$, умножив координаты вектора $\vec{a}$ на $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2}\vec{a} = \left(\frac{3}{2} \cdot (-4); \frac{3}{2} \cdot 2\right) = (-6; 3)$.

И, наконец, найдем модуль полученного вектора $(-6; 3)$:

$|\frac{3}{2}\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $(-6; 3)$, модуль $3\sqrt{5}$.

541. Дан вектор $\vec{b}$ (-6; 12). Найдите координаты и модули векторов $2\vec{b}$, $-\frac{1}{6}\vec{b}$, $\frac{2}{3}\vec{b}$.

Дан вектор $\vec{b}(-6; 12)$. Чтобы найти координаты вектора, умноженного на скаляр (число), нужно каждую координату исходного вектора умножить на этот скаляр. То есть, для вектора $\vec{v}(x; y)$ и скаляра $k$, координаты вектора $k\vec{v}$ будут $(kx; ky)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$2\vec{b}$

1. Координаты. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-6; 12)$ на 2:

$2\vec{b} = (2 \cdot (-6); 2 \cdot 12) = (-12; 24)$.

2. Модуль. Найдем модуль полученного вектора с координатами $(-12; 24)$:

$|2\vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + 24^2} = \sqrt{144 + 576} = \sqrt{720}$.

Упростим корень: $\sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $2\vec{b}$ равны $(-12; 24)$, модуль $|2\vec{b}| = 12\sqrt{5}$.

$-\frac{1}{6}\vec{b}$

1. Координаты. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-6; 12)$ на $-\frac{1}{6}$:

$-\frac{1}{6}\vec{b} = (-\frac{1}{6} \cdot (-6); -\frac{1}{6} \cdot 12) = (1; -2)$.

2. Модуль. Найдем модуль полученного вектора с координатами $(1; -2)$:

$|-\frac{1}{6}\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: координаты $-\frac{1}{6}\vec{b}$ равны $(1; -2)$, модуль $|-\frac{1}{6}\vec{b}| = \sqrt{5}$.

$\frac{2}{3}\vec{b}$

1. Координаты. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-6; 12)$ на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}\vec{b} = (\frac{2}{3} \cdot (-6); \frac{2}{3} \cdot 12) = (-4; 8)$.

2. Модуль. Найдем модуль полученного вектора с координатами $(-4; 8)$:

$|\frac{2}{3}\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$.

Упростим корень: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $\frac{2}{3}\vec{b}$ равны $(-4; 8)$, модуль $|\frac{2}{3}\vec{b}| = 4\sqrt{5}$.

542. Дан вектор $\vec{a} (3; -2)$. Какие из векторов $\vec{b} (-3; -2)$, $\vec{c} (-6; 4)$, $\vec{d} \left(\frac{3}{2}; -1\right)$, $\vec{e} \left(-1; -\frac{2}{3}\right)$, $\vec{f} (-3\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ коллинеарны вектору $\vec{a}$?

Два ненулевых вектора $\vec{v_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{v_2}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если существует такое число $k \neq 0$, что выполняются равенства $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Это условие равносильно пропорциональности их соответствующих координат: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$ (при $x_1 \neq 0, y_1 \neq 0$).

Дан вектор $\vec{a}(3; -2)$. Проверим каждый из предложенных векторов на коллинеарность с вектором $\vec{a}$, находя отношение их соответствующих координат.

Вектор $\vec{b}(-3; -2)$
Находим отношение первой координаты вектора $\vec{b}$ к первой координате вектора $\vec{a}$: $\frac{-3}{3} = -1$.
Находим отношение второй координаты вектора $\vec{b}$ ко второй координате вектора $\vec{a}$: $\frac{-2}{-2} = 1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, отношения не равны, следовательно, вектор $\vec{b}$ не коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{c}(-6; 4)$
Находим отношение координат: $\frac{-6}{3} = -2$ и $\frac{4}{-2} = -2$.
Поскольку отношения равны, вектор $\vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{d}(\frac{3}{2}; -1)$
Находим отношение координат: $\frac{3/2}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку отношения равны, вектор $\vec{d}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{e}(-1; -\frac{2}{3})$
Находим отношение координат: $\frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$ и $\frac{-2/3}{-2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $-\frac{1}{3} \neq \frac{1}{3}$, отношения не равны, следовательно, вектор $\vec{e}$ не коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{f}(-3\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$
Находим отношение координат: $\frac{-3\sqrt{2}}{3} = -\sqrt{2}$ и $\frac{2\sqrt{2}}{-2} = -\sqrt{2}$.
Поскольку отношения равны, вектор $\vec{f}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Ответ: вектору $\vec{a}$ коллинеарны векторы $\vec{c}$, $\vec{d}$ и $\vec{f}$.

543. Даны векторы $\vec{a}$ (3; -3) и $\vec{b}$ (-16; 8). Найдите координаты вектора:

1) $2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$;

2) $-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$;

3) $\vec{a}-\frac{5}{8}\vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}(3; -3)$ и $\vec{b}(-16; 8)$. Для нахождения координат результирующего вектора необходимо выполнить соответствующие операции (умножение на скаляр и сложение/вычитание) с координатами исходных векторов.

Правила действий с векторами в координатах:
Если дан вектор $\vec{v}(x; y)$ и число $k$, то $k\vec{v} = (k \cdot x; k \cdot y)$.
Если даны векторы $\vec{v_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{v_2}(x_2; y_2)$, то $\vec{v_1} + \vec{v_2} = (x_1+x_2; y_1+y_2)$ и $\vec{v_1} - \vec{v_2} = (x_1-x_2; y_1-y_2)$.

1) $2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a}$ и $\frac{1}{2}\vec{b}$.
$2\vec{a} = (2 \cdot 3; 2 \cdot (-3)) = (6; -6)$.
$\frac{1}{2}\vec{b} = (\frac{1}{2} \cdot (-16); \frac{1}{2} \cdot 8) = (-8; 4)$.

Теперь сложим полученные векторы, складывая их соответствующие координаты:
$2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b} = (6 + (-8); -6 + 4) = (-2; -2)$.

Ответ: $(-2; -2)$.

2) $-\frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$

Найдем координаты векторов $-\frac{1}{8}\vec{a}$ и $\frac{3}{4}\vec{b}$.
$-\frac{1}{8}\vec{a} = (-\frac{1}{8} \cdot 3; -\frac{1}{8} \cdot (-3)) = (-\frac{3}{8}; \frac{3}{8})$.
$\frac{3}{4}\vec{b} = (\frac{3}{4} \cdot (-16); \frac{3}{4} \cdot 8) = (-12; 6)$.

Сложим полученные векторы:
$-\frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b} = (-\frac{3}{8} + (-12); \frac{3}{8} + 6) = (-\frac{3}{8} - \frac{96}{8}; \frac{3}{8} + \frac{48}{8}) = (-\frac{99}{8}; \frac{51}{8})$.

Ответ: $(-\frac{99}{8}; \frac{51}{8})$.

3) $\vec{a}-\frac{5}{8}\vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $\frac{5}{8}\vec{b}$.
$\frac{5}{8}\vec{b} = (\frac{5}{8} \cdot (-16); \frac{5}{8} \cdot 8) = (-10; 5)$.

Теперь вычтем из координат вектора $\vec{a}$ координаты полученного вектора $\frac{5}{8}\vec{b}$:
$\vec{a}-\frac{5}{8}\vec{b} = (3 - (-10); -3 - 5) = (3 + 10; -8) = (13; -8)$.

Ответ: $(13; -8)$.

544. Даны векторы $\vec{m}(-2; 4)$ и $\vec{n}(3; -1)$. Найдите координаты вектора:

1) $3\vec{m} + 2\vec{n}$;

2) $-\frac{1}{2}\vec{m} + 2\vec{n}$;

3) $\vec{m} - 3\vec{n}$.

1) $3\bar{m} + 2\bar{n}$;

Для нахождения координат вектора $3\bar{m} + 2\bar{n}$ необходимо выполнить следующие действия:
1. Умножить координаты вектора $\bar{m}(-2; 4)$ на скаляр 3. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число:
$3\bar{m} = 3 \cdot (-2; 4) = (3 \cdot (-2); 3 \cdot 4) = (-6; 12)$.
2. Умножить координаты вектора $\bar{n}(3; -1)$ на скаляр 2:
$2\bar{n} = 2 \cdot (3; -1) = (2 \cdot 3; 2 \cdot (-1)) = (6; -2)$.
3. Сложить соответствующие координаты полученных векторов. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:
$3\bar{m} + 2\bar{n} = (-6; 12) + (6; -2) = (-6 + 6; 12 + (-2)) = (0; 10)$.
Ответ: (0; 10)

2) $-\frac{1}{2}\bar{m} + 2\bar{n}$;

Для нахождения координат этого вектора выполним аналогичные действия:
1. Умножим координаты вектора $\bar{m}(-2; 4)$ на скаляр $-\frac{1}{2}$:
$-\frac{1}{2}\bar{m} = -\frac{1}{2} \cdot (-2; 4) = (-\frac{1}{2} \cdot (-2); -\frac{1}{2} \cdot 4) = (1; -2)$.
2. Координаты вектора $2\bar{n}$ уже были найдены в предыдущем пункте: $2\bar{n} = (6; -2)$.
3. Сложим полученные векторы:
$-\frac{1}{2}\bar{m} + 2\bar{n} = (1; -2) + (6; -2) = (1 + 6; -2 - 2) = (7; -4)$.
Ответ: (7; -4)

3) $\bar{m} - 3\bar{n}$.

Для нахождения координат вектора разности $\bar{m} - 3\bar{n}$:
1. Умножим координаты вектора $\bar{n}(3; -1)$ на скаляр 3:
$3\bar{n} = 3 \cdot (3; -1) = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-1)) = (9; -3)$.
2. Вычтем из координат вектора $\bar{m}(-2; 4)$ соответствующие координаты вектора $3\bar{n}$. При вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются:
$\bar{m} - 3\bar{n} = (-2; 4) - (9; -3) = (-2 - 9; 4 - (-3)) = (-11; 4 + 3) = (-11; 7)$.
Ответ: (-11; 7)

545. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM : MB = AN : NC = 1 : 2$. Выразите вектор $\overrightarrow{MN}$ через вектор $\overrightarrow{CB}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выразим векторы, определяющие положение точек M и N, через векторы сторон треугольника.

Точка M лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{AM}$ составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ от вектора $\overrightarrow{AB}$, так как они сонаправлены. Таким образом, мы можем записать:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

Аналогично, точка N лежит на стороне AC и делит ее в отношении $AN : NC = 1 : 2$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{AN}$ составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ от вектора $\overrightarrow{AC}$, так как они также сонаправлены. Таким образом:

$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$

Теперь выразим искомый вектор $\overrightarrow{MN}$. По правилу треугольника для векторов (рассматривая треугольник AMN), вектор $\overrightarrow{MN}$ можно представить как разность векторов $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$

Подставим в это равенство найденные ранее выражения для $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$

Нам нужно выразить $\overrightarrow{MN}$ через вектор $\overrightarrow{CB}$. Выразим вектор $\overrightarrow{CB}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, используя правило разности векторов:

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Сравним полученное выражение для $\overrightarrow{CB}$ с выражением в скобках $(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$. Заметим, что:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = -(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{CB}$

Наконец, подставим это соотношение в выражение для вектора $\overrightarrow{MN}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (-\overrightarrow{CB})$

$\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$

Ответ: $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$

546. Точки O, A и B лежат на одной прямой. Докажите, что существует такое число k, что $\vec{OA} = k \cdot \vec{OB}$.

По условию задачи точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой. Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ имеют общее начало в точке $O$ и их концы, точки $A$ и $B$, лежат на той же прямой. Следовательно, векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ лежат на одной прямой, а значит, они коллинеарны.

Нам необходимо доказать, что существует такое действительное число $k$, для которого выполняется векторное равенство $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Точка $B$ не совпадает с точкой $O$ ($B \neq O$).

В этом случае вектор $\overrightarrow{OB}$ не является нулевым вектором, то есть $\overrightarrow{OB} \neq \vec{0}$, и его длина $|\overrightarrow{OB}| > 0$. Так как векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны, возможны следующие ситуации:

• Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ сонаправлены ($\overrightarrow{OA} \uparrow\uparrow \overrightarrow{OB}$). Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от точки $O$ на прямой. В этом случае искомый коэффициент $k$ будет неотрицательным ($k \ge 0$). Для выполнения равенства $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$ их длины должны быть связаны соотношением $|\overrightarrow{OA}| = |k| \cdot |\overrightarrow{OB}| = k \cdot |\overrightarrow{OB}|$. Отсюда находим $k$: $k = \frac{|\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OB}|}$. Так как $|\overrightarrow{OB}| > 0$, такое число $k$ существует.

• Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ противоположно направлены ($\overrightarrow{OA} \uparrow\downarrow \overrightarrow{OB}$). Это означает, что точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от точки $O$. В этом случае коэффициент $k$ будет отрицательным ($k < 0$). Из равенства длин $|\overrightarrow{OA}| = |k| \cdot |\overrightarrow{OB}| = (-k) \cdot |\overrightarrow{OB}|$ находим $k$: $k = - \frac{|\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OB}|}$. Такое число $k$ также существует.

2. Точка $B$ совпадает с точкой $O$ ($B = O$).

В этом случае вектор $\overrightarrow{OB}$ является нулевым: $\overrightarrow{OB} = \vec{0}$. Тогда равенство $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$ принимает вид $\overrightarrow{OA} = k \cdot \vec{0}$, что равносильно $\overrightarrow{OA} = \vec{0}$. Это означает, что точка $A$ также должна совпадать с точкой $O$ ($A=O$).

Если $A=O$ и $B=O$, то равенство имеет вид $\vec{0} = k \cdot \vec{0}$. Это равенство верно для любого действительного числа $k$. Например, можно взять $k=1$. Таким образом, и в этом случае число $k$ существует.

Итак, во всех возможных случаях, вытекающих из равенства $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$, мы показали, что такое число $k$ существует.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точки $O, A, B$ лежат на одной прямой, векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ коллинеарны. Из определения коллинеарных векторов и операции умножения вектора на число следует, что всегда можно найти такое число $k$, что $\overrightarrow{OA} = k \cdot \overrightarrow{OB}$.

547. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM : MB = 1 : 2$, $BN : NC = 2 : 1$. Выразите вектор $\vec{NM}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{NM}$ через базисные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{NM}$ в виде суммы векторов, проходящих через одну из вершин параллелограмма, например, через вершину B.

Согласно правилу треугольника (или многоугольника) для векторов, имеем: $\vec{NM} = \vec{NB} + \vec{BM}$

Теперь последовательно выразим каждый из векторов $\vec{NB}$ и $\vec{BM}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{BM}$
Точка M лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что длина отрезка $MB$ составляет $\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ от длины всей стороны $AB$. Поскольку точка M лежит на отрезке AB, векторы $\vec{MB}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Таким образом, можно записать: $\vec{MB} = \frac{2}{3} \vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{MB} = \frac{2}{3} \vec{a}$. Вектор $\vec{BM}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{MB}$, поэтому: $\vec{BM} = - \vec{MB} = -\frac{2}{3} \vec{a}$.

Выражение вектора $\vec{NB}$
Точка N лежит на стороне BC и делит ее в отношении $BN : NC = 2 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BN$ составляет $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ от длины всей стороны $BC$. Поскольку точка N лежит на отрезке BC, векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Таким образом: $\vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{BC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, значит $\vec{BC} = \vec{b}$. Подставив это в выражение для $\vec{BN}$, получаем: $\vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{b}$. Вектор $\vec{NB}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{BN}$, поэтому: $\vec{NB} = - \vec{BN} = -\frac{2}{3} \vec{b}$.

Нахождение вектора $\vec{NM}$
Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{NB}$ и $\vec{BM}$ в исходную формулу: $\vec{NM} = \vec{NB} + \vec{BM} = (-\frac{2}{3} \vec{b}) + (-\frac{2}{3} \vec{a})$.

Запишем результат в стандартном порядке: $\vec{NM} = -\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$.

Ответ: $\vec{NM} = -\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$.

548. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $BE : EC = 3 : 1$, $CF : FD = 1 : 3$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, представим искомый вектор в виде суммы других векторов, используя правило многоугольника. Удобно выбрать путь через вершину $C$, так как точки $E$ и $F$ лежат на сторонах, выходящих из нее: $\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}$.

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ через базовые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Выражение вектора $\vec{EC}$.Точка $E$ находится на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BE : EC = 3:1$. Это означает, что отрезок $BC$ состоит из $3+1=4$ равных частей, и отрезок $EC$ составляет одну такую часть. Следовательно, вектор $\vec{EC}$ составляет $\frac{1}{4}$ от вектора $\vec{BC}$.$\vec{EC} = \frac{1}{4}\vec{BC}$.В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.Таким образом, получаем: $\vec{EC} = \frac{1}{4}\vec{b}$.

2. Выражение вектора $\vec{CF}$.Точка $F$ находится на стороне $CD$ и делит ее в отношении $CF : FD = 1:3$. Это означает, что отрезок $CD$ состоит из $1+3=4$ равных частей, и отрезок $CF$ составляет одну такую часть. Следовательно, вектор $\vec{CF}$ составляет $\frac{1}{4}$ от вектора $\vec{CD}$.$\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CD}$.В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$, который противоположен вектору $\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$, значит, $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.Таким образом, получаем: $\vec{CF} = \frac{1}{4}(-\vec{a}) = -\frac{1}{4}\vec{a}$.

3. Нахождение вектора $\vec{EF}$.Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ в исходную сумму:$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{b} + (-\frac{1}{4}\vec{a}) = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$.

Для более компактной записи можно вынести общий множитель за скобки:$\vec{EF} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$.

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$.

549. Докажите, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, если $A (1; 1)$, $B (3; -2)$, $C (-1; 3)$, $D (5; -6)$.

Чтобы доказать, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, нужно проверить, пропорциональны ли их координаты.

Сначала найдем координаты векторов. Координаты вектора, заданного двумя точками, равны разности соответствующих координат его конца и начала.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(1; 1)$ и концом в точке $B(3; -2)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 1; -2 - 1) = (2; -3)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(-1; 3)$ и концом в точке $D(5; -6)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (5 - (-1); -6 - 3) = (6; -9)$

Два вектора $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то есть $b_1 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot a_2$. Это эквивалентно условию пропорциональности их координат: $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$ (при условии, что $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$).

Проверим это условие для векторов $\vec{AB}(2; -3)$ и $\vec{CD}(6; -9)$:

Найдем отношение их первых координат: $\frac{6}{2} = 3$.

Найдем отношение их вторых координат: $\frac{-9}{-3} = 3$.

Поскольку отношения соответствующих координат равны ($3 = 3$), то координаты векторов пропорциональны. Коэффициент пропорциональности $k=3$. Таким образом, $\vec{CD} = 3 \cdot \vec{AB}$.

Это доказывает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны.

Ответ: Векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны: $\vec{CD} = 3 \cdot \vec{AB}$.

550. Среди векторов $\vec{a} (1; -2)$, $\vec{b} (-3; -6)$, $\vec{c} (-4; 8)$, $\vec{d} (-1; -2)$ укажите пары коллинеарных векторов.

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняются равенства $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Если координаты векторов отличны от нуля, это условие можно записать в виде отношения: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$.

Проверим это условие для каждой возможной пары векторов из заданного списка: $\vec{a}(1; -2)$, $\vec{b}(-3; -6)$, $\vec{c}(-4; 8)$, $\vec{d}(-1; -2)$.

Пара $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Проверяем отношение координат векторов $\vec{a}(1; -2)$ и $\vec{b}(-3; -6)$:
$\frac{-3}{1} = -3$
$\frac{-6}{-2} = 3$
Поскольку $-3 \neq 3$, векторы не коллинеарны.

Пара $\vec{a}$ и $\vec{c}$

Проверяем отношение координат векторов $\vec{a}(1; -2)$ и $\vec{c}(-4; 8)$:
$\frac{-4}{1} = -4$
$\frac{8}{-2} = -4$
Поскольку отношения координат равны, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ коллинеарны.

Пара $\vec{a}$ и $\vec{d}$

Проверяем отношение координат векторов $\vec{a}(1; -2)$ и $\vec{d}(-1; -2)$:
$\frac{-1}{1} = -1$
$\frac{-2}{-2} = 1$
Поскольку $-1 \neq 1$, векторы не коллинеарны.

Пара $\vec{b}$ и $\vec{c}$

Проверяем отношение координат векторов $\vec{b}(-3; -6)$ и $\vec{c}(-4; 8)$:
$\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$
$\frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$
Поскольку $\frac{4}{3} \neq -\frac{4}{3}$, векторы не коллинеарны.

Пара $\vec{b}$ и $\vec{d}$

Проверяем отношение координат векторов $\vec{b}(-3; -6)$ и $\vec{d}(-1; -2)$:
$\frac{-3}{-1} = 3$
$\frac{-6}{-2} = 3$
Поскольку отношения координат равны, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны.

Пара $\vec{c}$ и $\vec{d}$

Проверяем отношение координат векторов $\vec{c}(-4; 8)$ и $\vec{d}(-1; -2)$:
$\frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$
$\frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Поскольку $\frac{1}{4} \neq -\frac{1}{4}$, векторы не коллинеарны.

Таким образом, найдены две пары коллинеарных векторов.

Ответ: коллинеарными являются пары векторов: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.