Номер 539, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

539. На отрезке AB длиной 18 см отметили точку C так, что BC = 6 см. Выразите:

1) вектор $\vec{AB}$ через вектор $\vec{AC}$;

2) вектор $\vec{BC}$ через вектор $\vec{AB}$;

3) вектор $\vec{AC}$ через вектор $\vec{BC}$.

По условию задачи, на отрезке $AB$ отмечена точка $C$. Это означает, что точки лежат на одной прямой в последовательности A, C, B. Длина отрезка $AB$ равна 18 см, а длина отрезка $BC$ равна 6 см.

Найдем длину отрезка $AC$:

$|AC| = |AB| - |BC| = 18 - 6 = 12$ см.

Так как все три точки лежат на одной прямой, векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Поскольку точка $C$ лежит между A и B, все три вектора направлены в одну сторону (сонаправлены). Это значит, что один вектор можно выразить через другой путем умножения на положительное число (скаляр), равное отношению их длин (модулей).

1) выразите вектор $\vec{AB}$ через вектор $\vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены. Найдем отношение их длин:

$k_1 = \frac{|\vec{AB}|}{|\vec{AC}|} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Следовательно, вектор $\vec{AB}$ можно выразить через вектор $\vec{AC}$ следующим образом:

$\vec{AB} = \frac{3}{2} \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AB} = \frac{3}{2} \vec{AC}$

2) выразите вектор $\vec{BC}$ через вектор $\vec{AB}$

Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Найдем отношение их длин:

$k_2 = \frac{|\vec{BC}|}{|\vec{AB}|} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Следовательно, вектор $\vec{BC}$ можно выразить через вектор $\vec{AB}$ следующим образом:

$\vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

Ответ: $\vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

3) выразите вектор $\vec{AC}$ через вектор $\vec{BC}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Найдем отношение их длин:

$k_3 = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{BC}|} = \frac{12}{6} = 2$

Следовательно, вектор $\vec{AC}$ можно выразить через вектор $\vec{BC}$ следующим образом:

$\vec{AC} = 2 \vec{BC}$

Ответ: $\vec{AC} = 2 \vec{BC}$