Номер 542, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

542. Дан вектор $\vec{a} (3; -2)$. Какие из векторов $\vec{b} (-3; -2)$, $\vec{c} (-6; 4)$, $\vec{d} \left(\frac{3}{2}; -1\right)$, $\vec{e} \left(-1; -\frac{2}{3}\right)$, $\vec{f} (-3\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ коллинеарны вектору $\vec{a}$?

Два ненулевых вектора $\vec{v_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{v_2}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если существует такое число $k \neq 0$, что выполняются равенства $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Это условие равносильно пропорциональности их соответствующих координат: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$ (при $x_1 \neq 0, y_1 \neq 0$).

Дан вектор $\vec{a}(3; -2)$. Проверим каждый из предложенных векторов на коллинеарность с вектором $\vec{a}$, находя отношение их соответствующих координат.

Вектор $\vec{b}(-3; -2)$
Находим отношение первой координаты вектора $\vec{b}$ к первой координате вектора $\vec{a}$: $\frac{-3}{3} = -1$.
Находим отношение второй координаты вектора $\vec{b}$ ко второй координате вектора $\vec{a}$: $\frac{-2}{-2} = 1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, отношения не равны, следовательно, вектор $\vec{b}$ не коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{c}(-6; 4)$
Находим отношение координат: $\frac{-6}{3} = -2$ и $\frac{4}{-2} = -2$.
Поскольку отношения равны, вектор $\vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{d}(\frac{3}{2}; -1)$
Находим отношение координат: $\frac{3/2}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$ и $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку отношения равны, вектор $\vec{d}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{e}(-1; -\frac{2}{3})$
Находим отношение координат: $\frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$ и $\frac{-2/3}{-2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $-\frac{1}{3} \neq \frac{1}{3}$, отношения не равны, следовательно, вектор $\vec{e}$ не коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Вектор $\vec{f}(-3\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$
Находим отношение координат: $\frac{-3\sqrt{2}}{3} = -\sqrt{2}$ и $\frac{2\sqrt{2}}{-2} = -\sqrt{2}$.
Поскольку отношения равны, вектор $\vec{f}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$.

Ответ: вектору $\vec{a}$ коллинеарны векторы $\vec{c}$, $\vec{d}$ и $\vec{f}$.