Номер 547, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

547. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM : MB = 1 : 2$, $BN : NC = 2 : 1$. Выразите вектор $\vec{NM}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{NM}$ через базисные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{NM}$ в виде суммы векторов, проходящих через одну из вершин параллелограмма, например, через вершину B.

Согласно правилу треугольника (или многоугольника) для векторов, имеем: $\vec{NM} = \vec{NB} + \vec{BM}$

Теперь последовательно выразим каждый из векторов $\vec{NB}$ и $\vec{BM}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{BM}$
Точка M лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что длина отрезка $MB$ составляет $\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ от длины всей стороны $AB$. Поскольку точка M лежит на отрезке AB, векторы $\vec{MB}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Таким образом, можно записать: $\vec{MB} = \frac{2}{3} \vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$, следовательно, $\vec{MB} = \frac{2}{3} \vec{a}$. Вектор $\vec{BM}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{MB}$, поэтому: $\vec{BM} = - \vec{MB} = -\frac{2}{3} \vec{a}$.

Выражение вектора $\vec{NB}$
Точка N лежит на стороне BC и делит ее в отношении $BN : NC = 2 : 1$. Это означает, что длина отрезка $BN$ составляет $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ от длины всей стороны $BC$. Поскольку точка N лежит на отрезке BC, векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Таким образом: $\vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{BC}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, значит $\vec{BC} = \vec{b}$. Подставив это в выражение для $\vec{BN}$, получаем: $\vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{b}$. Вектор $\vec{NB}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{BN}$, поэтому: $\vec{NB} = - \vec{BN} = -\frac{2}{3} \vec{b}$.

Нахождение вектора $\vec{NM}$
Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{NB}$ и $\vec{BM}$ в исходную формулу: $\vec{NM} = \vec{NB} + \vec{BM} = (-\frac{2}{3} \vec{b}) + (-\frac{2}{3} \vec{a})$.

Запишем результат в стандартном порядке: $\vec{NM} = -\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$.

Ответ: $\vec{NM} = -\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$.