Номер 540, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

540. Дан вектор $\vec{a}(-4; 2)$. Найдите координаты и модули векторов $3\vec{a}$, $-\frac{1}{2}\vec{a}$, $\frac{3}{2}\vec{a}$.

$3\vec{a}$

Чтобы найти координаты вектора $3\vec{a}$, необходимо каждую координату исходного вектора $\vec{a}(-4; 2)$ умножить на скаляр 3.

$3\vec{a} = (3 \cdot (-4); 3 \cdot 2) = (-12; 6)$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Применим эту формулу для вектора $3\vec{a}(-12; 6)$:

$|3\vec{a}| = \sqrt{(-12)^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $(-12; 6)$, модуль $6\sqrt{5}$.

$-\frac{1}{2}\vec{a}$

Аналогично, для нахождения координат вектора $-\frac{1}{2}\vec{a}$, умножим координаты вектора $\vec{a}$ на $-\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}\vec{a} = \left(-\frac{1}{2} \cdot (-4); -\frac{1}{2} \cdot 2\right) = (2; -1)$.

Теперь найдем модуль полученного вектора $(2; -1)$:

$|-\frac{1}{2}\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Ответ: координаты $(2; -1)$, модуль $\sqrt{5}$.

$\frac{3}{2}\vec{a}$

Найдем координаты вектора $\frac{3}{2}\vec{a}$, умножив координаты вектора $\vec{a}$ на $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2}\vec{a} = \left(\frac{3}{2} \cdot (-4); \frac{3}{2} \cdot 2\right) = (-6; 3)$.

И, наконец, найдем модуль полученного вектора $(-6; 3)$:

$|\frac{3}{2}\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $(-6; 3)$, модуль $3\sqrt{5}$.