Номер 534, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

534. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите:

1) вектор $\overrightarrow{AO}$ через вектор $\overrightarrow{AC}$;

2) вектор $\overrightarrow{BD}$ через вектор $\overrightarrow{BO}$;

3) вектор $\overrightarrow{CO}$ через вектор $\overrightarrow{AC}$.

По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. В нашем случае, в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. Из этого следует, что длины отрезков связаны соотношениями: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

1)

Рассмотрим векторы $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$. Оба вектора начинаются в точке $A$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление. Поскольку $O$ — середина $AC$, длина вектора $\vec{AO}$ равна половине длины вектора $\vec{AC}$.

Следовательно, связь между векторами выражается формулой: $\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}$

2)

Рассмотрим векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BO}$. Оба вектора начинаются в точке $B$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BO}$ сонаправлены. Поскольку $O$ — середина $BD$, длина вектора $\vec{BD}$ в два раза больше длины вектора $\vec{BO}$.

Таким образом, вектор $\vec{BD}$ можно выразить через вектор $\vec{BO}$ следующим образом: $\vec{BD} = 2 \vec{BO}$.

Ответ: $\vec{BD} = 2 \vec{BO}$

3)

Рассмотрим векторы $\vec{CO}$ и $\vec{AC}$. Вектор $\vec{CO}$ направлен от точки $C$ к точке $O$. Вектор $\vec{AC}$ направлен от точки $A$ к точке $C$. Эти векторы лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Такие векторы называются противоположно направленными.

Длина вектора $\vec{CO}$ равна половине длины вектора $\vec{AC}$, так как $O$ — середина $AC$. Учитывая, что векторы направлены в противоположные стороны, при их выражении друг через друга появляется знак минус.

Следовательно, связь между векторами такова: $\vec{CO} = -\frac{1}{2} \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{CO} = -\frac{1}{2} \vec{AC}$