Номер 528, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

528. Начертите трапецию $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Отметьте точку $M$ – середину стороны $AB$. От точки $M$ отложите вектор, равный вектору $ \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} $.

Для решения задачи сначала выполним построение, а затем докажем, что построенный вектор является искомым.

Построение

1. Начертим произвольную трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).
2. На боковой стороне $AB$ отметим её середину — точку $M$, как указано в условии.
3. Найдём середину другой боковой стороны, $CD$, и обозначим её точкой $N$.
4. Построим вектор, начинающийся в точке $M$ и заканчивающийся в точке $N$. Это вектор $\vec{MN}$.

Вектор $\vec{MN}$ и есть искомый вектор, отложенный от точки $M$.

Доказательство

Докажем, что построенный вектор $\vec{MN}$ действительно равен вектору $\frac{1}{2}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы сторон трапеции, используя правило многоугольника для сложения векторов. Это можно сделать двумя способами:

1. Через вершины $A$ и $D$:

$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$

2. Через вершины $B$ и $C$:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$

Теперь сложим эти два векторных равенства:

$\vec{MN} + \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}) + (\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN})$

Поскольку точка $M$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$

Аналогично, так как $N$ — середина отрезка $CD$, векторы $\vec{DN}$ и $\vec{CN}$ также противоположно направлены и равны по длине. Их сумма также равна нулевому вектору:

$\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$

Подставим полученные результаты в уравнение для $2\vec{MN}$:

$2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$

$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}$

Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое выражение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

Таким образом, мы доказали, что вектор, который нужно отложить от точки $M$, равен вектору $\vec{MN}$, где $N$ — середина стороны $CD$. Этот вектор является вектором средней линии трапеции.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{MN}$, где $N$ — середина стороны $CD$ трапеции $ABCD$.