Номер 526, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

526. Постройте три точки A, B и C такие, что:

1) $\vec{AB} = 2\vec{AC};$

2) $\vec{AB} = -3\vec{AC};$

3) $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB};$

4) $\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}.$

1) $\vec{AB} = 2\vec{AC}$

Данное векторное равенство $\vec{AB} = 2\vec{AC}$ связывает два вектора, имеющих общее начало в точке A. Из этого равенства можно сделать следующие выводы о расположении точек A, B и C:

1. Коллинеарность: Так как вектор $\vec{AB}$ является произведением вектора $\vec{AC}$ на число 2, эти векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Поскольку у них общее начало (точка A), то все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент 2 — положительное число. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону. Следовательно, точки B и C находятся по одну сторону от точки A.

3. Длина: Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ в два раза больше модуля вектора $\vec{AC}$, то есть $|\vec{AB}| = 2|\vec{AC}|$.

Из этих трех пунктов следует, что точка C находится между точками A и B, причем на равном расстоянии от них. Таким образом, C является серединой отрезка AB.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и C, провести через них прямую и на продолжении отрезка AC за точку C отложить отрезок CB, равный отрезку AC.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, при этом точка C является серединой отрезка AB.

2) $\vec{AB} = -3\vec{AC}$

Векторное равенство $\vec{AB} = -3\vec{AC}$ также связывает векторы с общим началом в точке A. Проанализируем его:

1. Коллинеарность: Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, так как связаны скалярным множителем. Поскольку у них общее начало A, точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент -3 — отрицательное число. Это означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ противоположно направлены. Так как они выходят из одной точки A, то лучи AB и AC направлены в разные стороны. Следовательно, точка A находится между точками B и C.

3. Длина: Модуль вектора $\vec{AB}$ в три раза больше модуля вектора $\vec{AC}$, так как $|\vec{AB}| = |-3| \cdot |\vec{AC}| = 3|\vec{AC}|$.

Таким образом, точки B, A, C лежат на одной прямой в указанном порядке, и расстояние от A до B в три раза больше расстояния от A до C.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и C, провести через них прямую и на этой прямой отложить от точки A в сторону, противоположную лучу AC, отрезок AB, длина которого в три раза больше длины AC.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка A лежит на отрезке BC и делит его в отношении $BA:AC = 3:1$.

3) $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Равенство $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ связывает векторы, у которых конец одного ($\vec{AB}$) является началом другого ($\vec{BC}$).

1. Коллинеарность: Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны. Так как они имеют общую точку B, все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент $\frac{1}{2}$ — положительное число. Следовательно, векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Это значит, что, двигаясь из A в B, мы продолжаем движение в том же направлении, чтобы попасть в C. Порядок точек на прямой: A, B, C.

3. Длина: Длина вектора $\vec{BC}$ равна половине длины вектора $\vec{AB}$, то есть $|\vec{BC}| = \frac{1}{2}|\vec{AB}|$.

Таким образом, точка B лежит на отрезке AC, и расстояние от A до B в два раза больше расстояния от B до C.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и B, провести через них прямую и на продолжении отрезка AB за точку B отложить отрезок BC, длина которого равна половине длины AB.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой в указанном порядке, причем точка B делит отрезок AC в отношении $AB:BC = 2:1$.

4) $\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}$

Равенство $\vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{BC}$ связывает векторы, имеющие общую конечную точку C.

1. Коллинеарность: Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны. Поскольку они имеют общую точку C, все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

2. Направление: Коэффициент $-\frac{1}{3}$ — отрицательное число. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ (направлен из A в C) и $\vec{BC}$ (направлен из B в C) противоположно направлены. Если у векторов общая конечная точка, а направления противоположны, то эта общая точка C должна лежать между начальными точками A и B. Порядок точек на прямой: A, C, B.

3. Длина: Длина вектора $\vec{AC}$ составляет одну треть длины вектора $\vec{BC}$: $|\vec{AC}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{BC}| = \frac{1}{3}|\vec{BC}|$.

Следовательно, точка C лежит на отрезке AB, и расстояние от B до C в три раза больше расстояния от A до C.

Для построения точек нужно выбрать любые две точки A и B, разделить отрезок AB на 4 равные части. Точка C будет первой точкой деления, считая от A.

Ответ: Точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка C лежит на отрезке AB и делит его в отношении $AC:CB = 1:3$.