Номер 524, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

524. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 129). Постройте вектор:

1) $2\vec{a} + \vec{b}$;

2) $\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$;

3) $\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$;

4) $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

Рис. 128

Рис. 129

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя сетку на рисунке 129. Примем сторону одной клетки за единицу.

Вектор $\vec{a}$ смещается на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{a} = (3; -2)$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{b} = (2; 3)$.

Теперь построим требуемые векторы, вычислив их координаты.

1) $2\vec{a} + \vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $2\vec{a}$:

$2\vec{a} = 2 \cdot (3; -2) = (6; -4)$

Теперь сложим векторы $2\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$2\vec{a} + \vec{b} = (6; -4) + (2; 3) = (6+2; -4+3) = (8; -1)$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $2\vec{a}$ (сонаправленный с $\vec{a}$ и вдвое длиннее), а от его конца отложить вектор $\vec{b}$. Итоговый вектор будет соединять начало первого вектора и конец второго.

Ответ: Вектор $2\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(8; -1)$.

2) $\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$

Найдем координаты вектора $\frac{1}{3}\vec{a}$:

$\frac{1}{3}\vec{a} = \frac{1}{3} \cdot (3; -2) = (1; -\frac{2}{3})$

Теперь сложим векторы $\frac{1}{3}\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b} = (1; -\frac{2}{3}) + (2; 3) = (1+2; -\frac{2}{3}+3) = (3; \frac{7}{3})$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $\frac{1}{3}\vec{a}$ (сонаправленный с $\vec{a}$ и втрое короче), а от его конца отложить вектор $\vec{b}$.

Ответ: Вектор $\frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(3; \frac{7}{3})$.

3) $\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Это выражение можно представить как сумму векторов $\vec{a}$ и $(-\frac{1}{2}\vec{b})$. Найдем координаты вектора $-\frac{1}{2}\vec{b}$:

$-\frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2} \cdot (2; 3) = (-1; -\frac{3}{2})$

Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $-\frac{1}{2}\vec{b}$:

$\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = (3; -2) + (-1; -\frac{3}{2}) = (3-1; -2-\frac{3}{2}) = (2; -\frac{7}{2})$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $\vec{a}$, а от его конца отложить вектор $-\frac{1}{2}\vec{b}$ (противоположно направленный вектору $\vec{b}$ и вдвое короче).

Ответ: Вектор $\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$ имеет координаты $(2; -3.5)$.

4) $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

Найдем координаты векторов $-\frac{1}{3}\vec{a}$ и $-\frac{2}{3}\vec{b}$ по отдельности:

$-\frac{1}{3}\vec{a} = -\frac{1}{3} \cdot (3; -2) = (-1; \frac{2}{3})$

$-\frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{2}{3} \cdot (2; 3) = (-\frac{4}{3}; -2)$

Теперь сложим полученные векторы:

$-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = (-1; \frac{2}{3}) + (-\frac{4}{3}; -2) = (-1-\frac{4}{3}; \frac{2}{3}-2) = (-\frac{7}{3}; -\frac{4}{3})$

Для построения нужно отложить от произвольной точки вектор $-\frac{1}{3}\vec{a}$ (противоположно направленный вектору $\vec{a}$ и втрое короче), а от его конца отложить вектор $-\frac{2}{3}\vec{b}$ (противоположно направленный вектору $\vec{b}$ и длиной $\frac{2}{3}$ от его длины).

Ответ: Вектор $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$ имеет координаты $(-\frac{7}{3}; -\frac{4}{3})$.