Номер 529, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

529. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор, равный вектору $\frac{1}{3}\vec{AC}$, так, чтобы его начало принадлежало стороне AB, а конец – стороне BC.

Пусть искомый вектор будет $\vec{MN}$, где его начало $M$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$, а его конец $N$ лежит на стороне $BC$. По условию задачи, этот вектор должен быть равен вектору $\frac{1}{3}\vec{AC}$.

Равенство векторов $\vec{MN} = \frac{1}{3}\vec{AC}$ означает, что вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{AC}$ (то есть прямые $MN$ и $AC$ параллельны), а его длина $|MN|$ составляет одну треть длины вектора $\vec{AC}$, то есть $|MN| = \frac{1}{3}|AC|$.

Для построения такого вектора необходимо найти положение точек $M$ и $N$.

Анализ и нахождение положения точек M и N

Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы ищем точки $M$ на $AB$ и $N$ на $BC$ так, чтобы отрезок $MN$ был параллелен $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$. У них есть общий угол $\angle B$. Так как по условию $MN \parallel AC$, то $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $\triangle MBN$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{|BM|}{|BA|} = \frac{|BN|}{|BC|} = \frac{|MN|}{|AC|} = k$.

По условию нам нужно, чтобы $|MN| = \frac{1}{3}|AC|$, значит, коэффициент подобия $k$ должен быть равен $\frac{1}{3}$.
Таким образом, мы должны выбрать точки $M$ и $N$ так, чтобы выполнялись следующие соотношения:
$\frac{|BM|}{|BA|} = \frac{1}{3}$ и $\frac{|BN|}{|BC|} = \frac{1}{3}$.

Это означает, что точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $|AM|:|MB| = 2:1$, а точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $|BN|:|NC| = 1:2$.

Построение

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Построим точку $M$ на стороне $AB$ такую, что $|BM| = \frac{1}{3}|AB|$ (или, что то же самое, $|AM| = \frac{2}{3}|AB|$). Для этого разделим отрезок $AB$ на три равные части с помощью циркуля и линейки, используя теорему Фалеса:
а) Из точки $A$ проведём произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
б) На луче $l$ от точки $A$ отложим циркулем три равных отрезка произвольной длины: $AP_1, P_1P_2, P_2P_3$.
в) Соединим точку $P_3$ с точкой $B$.
г) Через точку $P_2$ проведём прямую, параллельную $P_3B$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AB$ и будет искомой точкой $M$.
3. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную стороне $AC$. Точку пересечения этой прямой со стороной $BC$ обозначим $N$.
4. По построению $MN \parallel AC$. Как мы показали в анализе, из этого следует, что $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = \frac{|BM|}{|BA|} = \frac{1}{3}$.
5. Следовательно, $|MN| = \frac{1}{3}|AC|$ и вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{AC}$.
6. Направленный отрезок от точки $M$ к точке $N$ и есть искомый вектор $\vec{MN}$.

На рисунке показан результат построения. Точка $M$ делит $AB$ в отношении $2:1$, считая от $A$. Точка $N$ найдена как пересечение прямой, параллельной $AC$ и проходящей через $M$, со стороной $BC$. Вектор $\vec{MN}$ — искомый.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{MN}$, где точка $M$ (начало вектора) лежит на стороне $AB$ и делит ее в отношении $|AM|:|MB| = 2:1$, а точка $N$ (конец вектора) лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $|BN|:|NC| = 1:2$. Построение вектора сводится к нахождению этих точек и соединению их направленным отрезком.