Номер 532, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

532. Ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными или противоположно направленными, если: 1) $\vec{b} = 2\vec{a}$; 2) $\vec{a} = -\frac{1}{3}\vec{b}$; 3) $\vec{b} = \sqrt{2}\vec{a}$? Найдите отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$.

1) Дано соотношение $\vec{b} = 2\vec{a}$.

Это соотношение вида $\vec{b} = k\vec{a}$, где коэффициент $k=2$.

Поскольку $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными (направлены в одну сторону).

Для нахождения отношения длин (модулей) векторов, возьмем модуль от обеих частей равенства:

$|\vec{b}| = |2\vec{a}|$

Используя свойство модуля вектора $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$, получаем:

$|\vec{b}| = |2| \cdot |\vec{a}| = 2|\vec{a}|$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$. Из предыдущего равенства выражаем $\frac{1}{|\vec{b}|} = \frac{1}{2|\vec{a}|}$. Умножаем на $|\vec{a}|$:

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{2|\vec{a}|}$

Так как векторы ненулевые, их модули не равны нулю, и мы можем сократить $|\vec{a}|$:

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{2}$

Ответ: векторы сонаправлены, $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{2}$.

2) Дано соотношение $\vec{a} = -\frac{1}{3}\vec{b}$.

Это соотношение вида $\vec{a} = k\vec{b}$, где коэффициент $k=-\frac{1}{3}$.

Поскольку $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются противоположно направленными.

Для нахождения отношения длин векторов, возьмем модуль от обеих частей равенства:

$|\vec{a}| = |-\frac{1}{3}\vec{b}|$

Используя свойство модуля вектора, получаем:

$|\vec{a}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{b}| = \frac{1}{3}|\vec{b}|$

Чтобы найти отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$, разделим обе части равенства на $|\vec{b}|$ (так как $\vec{b}$ — ненулевой вектор, $|\vec{b}| \neq 0$):

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$

Ответ: векторы противоположно направленные, $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$.

3) Дано соотношение $\vec{b} = \sqrt{2}\vec{a}$.

Это соотношение вида $\vec{b} = k\vec{a}$, где коэффициент $k=\sqrt{2}$.

Поскольку $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными.

Для нахождения отношения длин векторов, возьмем модуль от обеих частей равенства:

$|\vec{b}| = |\sqrt{2}\vec{a}|$

Используя свойство модуля вектора, получаем:

$|\vec{b}| = |\sqrt{2}| \cdot |\vec{a}| = \sqrt{2}|\vec{a}|$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$:

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: векторы сонаправлены, $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.