Номер 537, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

537. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны BC, $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Выразите векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Введены базисные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Требуется выразить векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{AM}$

Чтобы найти вектор $\vec{AM}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Мы можем представить вектор $\vec{AM}$ как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $M$ по сторонам параллелограмма:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$

По условию, нам известен вектор $\vec{AB} = \vec{a}$.

Точка $M$ — середина стороны $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BM}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, лежащие на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Так как $\vec{AD} = \vec{b}$, то и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Теперь мы можем выразить вектор $\vec{BM}$ через $\vec{b}$:

$\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Подставим известные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ в исходную формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{MD}$

Для нахождения вектора $\vec{MD}$ также воспользуемся правилом сложения векторов. Представим путь из точки $M$ в точку $D$ через вершины параллелограмма, например, через точку $C$:

$\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD}$

Вектор $\vec{MC}$ также является половиной вектора $\vec{BC}$, так как $M$ — середина $BC$:

$\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Вектор $\vec{CD}$ противоположен по направлению вектору $\vec{AB}$ (так как $CD$ и $AB$ — противоположные стороны параллелограмма). Следовательно:

$\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{MC}$ и $\vec{CD}$ в формулу для $\vec{MD}$:

$\vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{b} + (-\vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Другой способ найти $\vec{MD}$ — через правило разности векторов, исходящих из одной точки:

$\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$

Мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$, а вектор $\vec{AM}$ мы уже нашли: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. Подставим эти значения:

$\vec{MD} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = (1 - \frac{1}{2})\vec{b} - \vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.