Номер 541, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

541. Дан вектор $\vec{b}$ (-6; 12). Найдите координаты и модули векторов $2\vec{b}$, $-\frac{1}{6}\vec{b}$, $\frac{2}{3}\vec{b}$.

Дан вектор $\vec{b}(-6; 12)$. Чтобы найти координаты вектора, умноженного на скаляр (число), нужно каждую координату исходного вектора умножить на этот скаляр. То есть, для вектора $\vec{v}(x; y)$ и скаляра $k$, координаты вектора $k\vec{v}$ будут $(kx; ky)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$2\vec{b}$

1. Координаты. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-6; 12)$ на 2:

$2\vec{b} = (2 \cdot (-6); 2 \cdot 12) = (-12; 24)$.

2. Модуль. Найдем модуль полученного вектора с координатами $(-12; 24)$:

$|2\vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + 24^2} = \sqrt{144 + 576} = \sqrt{720}$.

Упростим корень: $\sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $2\vec{b}$ равны $(-12; 24)$, модуль $|2\vec{b}| = 12\sqrt{5}$.

$-\frac{1}{6}\vec{b}$

1. Координаты. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-6; 12)$ на $-\frac{1}{6}$:

$-\frac{1}{6}\vec{b} = (-\frac{1}{6} \cdot (-6); -\frac{1}{6} \cdot 12) = (1; -2)$.

2. Модуль. Найдем модуль полученного вектора с координатами $(1; -2)$:

$|-\frac{1}{6}\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: координаты $-\frac{1}{6}\vec{b}$ равны $(1; -2)$, модуль $|-\frac{1}{6}\vec{b}| = \sqrt{5}$.

$\frac{2}{3}\vec{b}$

1. Координаты. Умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-6; 12)$ на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}\vec{b} = (\frac{2}{3} \cdot (-6); \frac{2}{3} \cdot 12) = (-4; 8)$.

2. Модуль. Найдем модуль полученного вектора с координатами $(-4; 8)$:

$|\frac{2}{3}\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$.

Упростим корень: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Ответ: координаты $\frac{2}{3}\vec{b}$ равны $(-4; 8)$, модуль $|\frac{2}{3}\vec{b}| = 4\sqrt{5}$.