Номер 545, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

545. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM : MB = AN : NC = 1 : 2$. Выразите вектор $\overrightarrow{MN}$ через вектор $\overrightarrow{CB}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Выразим векторы, определяющие положение точек M и N, через векторы сторон треугольника.

Точка M лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{AM}$ составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ от вектора $\overrightarrow{AB}$, так как они сонаправлены. Таким образом, мы можем записать:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

Аналогично, точка N лежит на стороне AC и делит ее в отношении $AN : NC = 1 : 2$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{AN}$ составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ от вектора $\overrightarrow{AC}$, так как они также сонаправлены. Таким образом:

$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$

Теперь выразим искомый вектор $\overrightarrow{MN}$. По правилу треугольника для векторов (рассматривая треугольник AMN), вектор $\overrightarrow{MN}$ можно представить как разность векторов $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$

Подставим в это равенство найденные ранее выражения для $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{AM}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$

Нам нужно выразить $\overrightarrow{MN}$ через вектор $\overrightarrow{CB}$. Выразим вектор $\overrightarrow{CB}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, используя правило разности векторов:

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Сравним полученное выражение для $\overrightarrow{CB}$ с выражением в скобках $(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$. Заметим, что:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = -(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -\overrightarrow{CB}$

Наконец, подставим это соотношение в выражение для вектора $\overrightarrow{MN}$:

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} (-\overrightarrow{CB})$

$\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$

Ответ: $\overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{CB}$