Номер 549, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

549. Докажите, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, если $A (1; 1)$, $B (3; -2)$, $C (-1; 3)$, $D (5; -6)$.

Чтобы доказать, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны, нужно проверить, пропорциональны ли их координаты.

Сначала найдем координаты векторов. Координаты вектора, заданного двумя точками, равны разности соответствующих координат его конца и начала.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(1; 1)$ и концом в точке $B(3; -2)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - 1; -2 - 1) = (2; -3)$

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(-1; 3)$ и концом в точке $D(5; -6)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (5 - (-1); -6 - 3) = (6; -9)$

Два вектора $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, то есть $b_1 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot a_2$. Это эквивалентно условию пропорциональности их координат: $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$ (при условии, что $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$).

Проверим это условие для векторов $\vec{AB}(2; -3)$ и $\vec{CD}(6; -9)$:

Найдем отношение их первых координат: $\frac{6}{2} = 3$.

Найдем отношение их вторых координат: $\frac{-9}{-3} = 3$.

Поскольку отношения соответствующих координат равны ($3 = 3$), то координаты векторов пропорциональны. Коэффициент пропорциональности $k=3$. Таким образом, $\vec{CD} = 3 \cdot \vec{AB}$.

Это доказывает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ коллинеарны.

Ответ: Векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны: $\vec{CD} = 3 \cdot \vec{AB}$.