Номер 548, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

548. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ так, что $BE : EC = 3 : 1$, $CF : FD = 1 : 3$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$, представим искомый вектор в виде суммы других векторов, используя правило многоугольника. Удобно выбрать путь через вершину $C$, так как точки $E$ и $F$ лежат на сторонах, выходящих из нее: $\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}$.

Теперь необходимо выразить векторы $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ через базовые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1. Выражение вектора $\vec{EC}$.Точка $E$ находится на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BE : EC = 3:1$. Это означает, что отрезок $BC$ состоит из $3+1=4$ равных частей, и отрезок $EC$ составляет одну такую часть. Следовательно, вектор $\vec{EC}$ составляет $\frac{1}{4}$ от вектора $\vec{BC}$.$\vec{EC} = \frac{1}{4}\vec{BC}$.В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.Таким образом, получаем: $\vec{EC} = \frac{1}{4}\vec{b}$.

2. Выражение вектора $\vec{CF}$.Точка $F$ находится на стороне $CD$ и делит ее в отношении $CF : FD = 1:3$. Это означает, что отрезок $CD$ состоит из $1+3=4$ равных частей, и отрезок $CF$ составляет одну такую часть. Следовательно, вектор $\vec{CF}$ составляет $\frac{1}{4}$ от вектора $\vec{CD}$.$\vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{CD}$.В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$, который противоположен вектору $\vec{AB}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$, значит, $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.Таким образом, получаем: $\vec{CF} = \frac{1}{4}(-\vec{a}) = -\frac{1}{4}\vec{a}$.

3. Нахождение вектора $\vec{EF}$.Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{EC}$ и $\vec{CF}$ в исходную сумму:$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF} = \frac{1}{4}\vec{b} + (-\frac{1}{4}\vec{a}) = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a}$.

Для более компактной записи можно вынести общий множитель за скобки:$\vec{EF} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$.

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{4}(\vec{b} - \vec{a})$.