Номер 543, страница 131 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

543. Даны векторы $\vec{a}$ (3; -3) и $\vec{b}$ (-16; 8). Найдите координаты вектора:

1) $2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$;

2) $-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$;

3) $\vec{a}-\frac{5}{8}\vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}(3; -3)$ и $\vec{b}(-16; 8)$. Для нахождения координат результирующего вектора необходимо выполнить соответствующие операции (умножение на скаляр и сложение/вычитание) с координатами исходных векторов.

Правила действий с векторами в координатах:
Если дан вектор $\vec{v}(x; y)$ и число $k$, то $k\vec{v} = (k \cdot x; k \cdot y)$.
Если даны векторы $\vec{v_1}(x_1; y_1)$ и $\vec{v_2}(x_2; y_2)$, то $\vec{v_1} + \vec{v_2} = (x_1+x_2; y_1+y_2)$ и $\vec{v_1} - \vec{v_2} = (x_1-x_2; y_1-y_2)$.

1) $2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{a}$ и $\frac{1}{2}\vec{b}$.
$2\vec{a} = (2 \cdot 3; 2 \cdot (-3)) = (6; -6)$.
$\frac{1}{2}\vec{b} = (\frac{1}{2} \cdot (-16); \frac{1}{2} \cdot 8) = (-8; 4)$.

Теперь сложим полученные векторы, складывая их соответствующие координаты:
$2\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b} = (6 + (-8); -6 + 4) = (-2; -2)$.

Ответ: $(-2; -2)$.

2) $-\frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$

Найдем координаты векторов $-\frac{1}{8}\vec{a}$ и $\frac{3}{4}\vec{b}$.
$-\frac{1}{8}\vec{a} = (-\frac{1}{8} \cdot 3; -\frac{1}{8} \cdot (-3)) = (-\frac{3}{8}; \frac{3}{8})$.
$\frac{3}{4}\vec{b} = (\frac{3}{4} \cdot (-16); \frac{3}{4} \cdot 8) = (-12; 6)$.

Сложим полученные векторы:
$-\frac{1}{8}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b} = (-\frac{3}{8} + (-12); \frac{3}{8} + 6) = (-\frac{3}{8} - \frac{96}{8}; \frac{3}{8} + \frac{48}{8}) = (-\frac{99}{8}; \frac{51}{8})$.

Ответ: $(-\frac{99}{8}; \frac{51}{8})$.

3) $\vec{a}-\frac{5}{8}\vec{b}$

Сначала найдем координаты вектора $\frac{5}{8}\vec{b}$.
$\frac{5}{8}\vec{b} = (\frac{5}{8} \cdot (-16); \frac{5}{8} \cdot 8) = (-10; 5)$.

Теперь вычтем из координат вектора $\vec{a}$ координаты полученного вектора $\frac{5}{8}\vec{b}$:
$\vec{a}-\frac{5}{8}\vec{b} = (3 - (-10); -3 - 5) = (3 + 10; -8) = (13; -8)$.

Ответ: $(13; -8)$.