Номер 538, страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

538. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Выразите:

1) вектор $\overrightarrow{MN}$ через вектор $\overrightarrow{CA}$;

2) вектор $\overrightarrow{AC}$ через вектор $\overrightarrow{MN}$.

Поскольку точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, отрезок MN является средней линией этого треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. В векторном виде это свойство означает, что вектор средней линии коллинеарен вектору третьей стороны и его длина в два раза меньше. Точнее, вектор, соединяющий середины сторон, равен половине вектора третьей стороны. Докажем это.

Выразим вектор $\vec{MN}$ по правилу треугольника (правило Шаля):

$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}$

Также можно выразить $\vec{MN}$ через другой путь:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

Поскольку M — середина AB, то $\vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Поскольку N — середина BC, то $\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Следовательно, мы получаем основное соотношение для средней линии в векторной форме:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Используя это соотношение, решим поставленные задачи.

1) Выразите вектор $\vec{MN}$ через вектор $\vec{CA}$.

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ являются противоположными, то есть они имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что $\vec{AC} = -\vec{CA}$.

Подставим это равенство в нашу формулу:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{CA}$

Ответ: $\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{CA}$

2) Выразите вектор $\vec{AC}$ через вектор $\vec{MN}$.

Воспользуемся полученной нами формулой $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Чтобы выразить $\vec{AC}$, нужно умножить обе части этого векторного равенства на 2:

$2 \cdot \vec{MN} = 2 \cdot (\frac{1}{2}\vec{AC})$

$2\vec{MN} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC} = 2\vec{MN}$