Страница 130 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

528. Начертите трапецию $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Отметьте точку $M$ – середину стороны $AB$. От точки $M$ отложите вектор, равный вектору $ \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} $.

Для решения задачи сначала выполним построение, а затем докажем, что построенный вектор является искомым.

Построение

1. Начертим произвольную трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).
2. На боковой стороне $AB$ отметим её середину — точку $M$, как указано в условии.
3. Найдём середину другой боковой стороны, $CD$, и обозначим её точкой $N$.
4. Построим вектор, начинающийся в точке $M$ и заканчивающийся в точке $N$. Это вектор $\vec{MN}$.

Вектор $\vec{MN}$ и есть искомый вектор, отложенный от точки $M$.

Доказательство

Докажем, что построенный вектор $\vec{MN}$ действительно равен вектору $\frac{1}{2}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является её средней линией. Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы сторон трапеции, используя правило многоугольника для сложения векторов. Это можно сделать двумя способами:

1. Через вершины $A$ и $D$:

$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$

2. Через вершины $B$ и $C$:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$

Теперь сложим эти два векторных равенства:

$\vec{MN} + \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}) + (\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN})$

Поскольку точка $M$ — середина отрезка $AB$, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$

Аналогично, так как $N$ — середина отрезка $CD$, векторы $\vec{DN}$ и $\vec{CN}$ также противоположно направлены и равны по длине. Их сумма также равна нулевому вектору:

$\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$

Подставим полученные результаты в уравнение для $2\vec{MN}$:

$2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$

$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}$

Разделив обе части равенства на 2, получаем искомое выражение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

Таким образом, мы доказали, что вектор, который нужно отложить от точки $M$, равен вектору $\vec{MN}$, где $N$ — середина стороны $CD$. Этот вектор является вектором средней линии трапеции.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{MN}$, где $N$ — середина стороны $CD$ трапеции $ABCD$.

529. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор, равный вектору $\frac{1}{3}\vec{AC}$, так, чтобы его начало принадлежало стороне AB, а конец – стороне BC.

Пусть искомый вектор будет $\vec{MN}$, где его начало $M$ лежит на стороне $AB$ треугольника $ABC$, а его конец $N$ лежит на стороне $BC$. По условию задачи, этот вектор должен быть равен вектору $\frac{1}{3}\vec{AC}$.

Равенство векторов $\vec{MN} = \frac{1}{3}\vec{AC}$ означает, что вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{AC}$ (то есть прямые $MN$ и $AC$ параллельны), а его длина $|MN|$ составляет одну треть длины вектора $\vec{AC}$, то есть $|MN| = \frac{1}{3}|AC|$.

Для построения такого вектора необходимо найти положение точек $M$ и $N$.

Анализ и нахождение положения точек M и N

Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы ищем точки $M$ на $AB$ и $N$ на $BC$ так, чтобы отрезок $MN$ был параллелен $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$. У них есть общий угол $\angle B$. Так как по условию $MN \parallel AC$, то $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $\triangle MBN$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{|BM|}{|BA|} = \frac{|BN|}{|BC|} = \frac{|MN|}{|AC|} = k$.

По условию нам нужно, чтобы $|MN| = \frac{1}{3}|AC|$, значит, коэффициент подобия $k$ должен быть равен $\frac{1}{3}$.
Таким образом, мы должны выбрать точки $M$ и $N$ так, чтобы выполнялись следующие соотношения:
$\frac{|BM|}{|BA|} = \frac{1}{3}$ и $\frac{|BN|}{|BC|} = \frac{1}{3}$.

Это означает, что точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $|AM|:|MB| = 2:1$, а точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $|BN|:|NC| = 1:2$.

Построение

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Построим точку $M$ на стороне $AB$ такую, что $|BM| = \frac{1}{3}|AB|$ (или, что то же самое, $|AM| = \frac{2}{3}|AB|$). Для этого разделим отрезок $AB$ на три равные части с помощью циркуля и линейки, используя теорему Фалеса:
а) Из точки $A$ проведём произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
б) На луче $l$ от точки $A$ отложим циркулем три равных отрезка произвольной длины: $AP_1, P_1P_2, P_2P_3$.
в) Соединим точку $P_3$ с точкой $B$.
г) Через точку $P_2$ проведём прямую, параллельную $P_3B$. Точка пересечения этой прямой со стороной $AB$ и будет искомой точкой $M$.
3. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную стороне $AC$. Точку пересечения этой прямой со стороной $BC$ обозначим $N$.
4. По построению $MN \parallel AC$. Как мы показали в анализе, из этого следует, что $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $k = \frac{|BM|}{|BA|} = \frac{1}{3}$.
5. Следовательно, $|MN| = \frac{1}{3}|AC|$ и вектор $\vec{MN}$ сонаправлен вектору $\vec{AC}$.
6. Направленный отрезок от точки $M$ к точке $N$ и есть искомый вектор $\vec{MN}$.

На рисунке показан результат построения. Точка $M$ делит $AB$ в отношении $2:1$, считая от $A$. Точка $N$ найдена как пересечение прямой, параллельной $AC$ и проходящей через $M$, со стороной $BC$. Вектор $\vec{MN}$ — искомый.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{MN}$, где точка $M$ (начало вектора) лежит на стороне $AB$ и делит ее в отношении $|AM|:|MB| = 2:1$, а точка $N$ (конец вектора) лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $|BN|:|NC| = 1:2$. Построение вектора сводится к нахождению этих точек и соединению их направленным отрезком.

530. Найдите модули векторов $3\vec{m}$ и $-\frac{1}{2}\vec{m}$, если $|\vec{m}| = 4.$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством модуля вектора, умноженного на число (скаляр). Свойство гласит, что модуль произведения вектора $\vec{a}$ на число $k$ равен произведению модуля числа $k$ на модуль вектора $\vec{a}$. Математически это записывается так:

$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

По условию задачи нам дан модуль вектора $\vec{m}$: $|\vec{m}| = 4$.

$3\vec{m}$

Найдём модуль вектора $3\vec{m}$. В данном случае скаляр $k=3$. Применяем свойство:
$|3\vec{m}| = |3| \cdot |\vec{m}|$
Подставляем известные значения:
$|3\vec{m}| = 3 \cdot 4 = 12$
Ответ: 12.

$-\frac{1}{2}\vec{m}$

Теперь найдём модуль вектора $-\frac{1}{2}\vec{m}$. В этом случае скаляр $k = -\frac{1}{2}$. Применяем то же свойство:
$|-\frac{1}{2}\vec{m}| = |-\frac{1}{2}| \cdot |\vec{m}|$
Модуль числа $-\frac{1}{2}$ равен $\frac{1}{2}$. Подставляем известные значения:
$|-\frac{1}{2}\vec{m}| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
Ответ: 2.

531. Какой из векторов, $3\vec{a}$ или $-\frac{1}{3}\vec{a}$, сонаправлен с вектором $\vec{a}$, если $\vec{a} \ne \vec{0}$?

По определению, два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются сонаправленными, если существует такое положительное число $k$ (то есть $k > 0$), что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. Если же число $k$ отрицательное ($k < 0$), то векторы называются противоположно направленными.

Рассмотрим каждый из предложенных векторов:

1. Вектор $3\vec{a}$.
Этот вектор можно представить в виде $k \cdot \vec{a}$, где коэффициент $k = 3$. Поскольку $k = 3 > 0$, вектор $3\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$.

2. Вектор $-\frac{1}{3}\vec{a}$.
Этот вектор можно представить в виде $k \cdot \vec{a}$, где коэффициент $k = -\frac{1}{3}$. Поскольку $k = -\frac{1}{3} < 0$, вектор $-\frac{1}{3}\vec{a}$ является противоположно направленным вектору $\vec{a}$.

Следовательно, с вектором $\vec{a}$ сонаправлен вектор $3\vec{a}$.

Ответ: $3\vec{a}$.

532. Ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными или противоположно направленными, если: 1) $\vec{b} = 2\vec{a}$; 2) $\vec{a} = -\frac{1}{3}\vec{b}$; 3) $\vec{b} = \sqrt{2}\vec{a}$? Найдите отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$.

1) Дано соотношение $\vec{b} = 2\vec{a}$.

Это соотношение вида $\vec{b} = k\vec{a}$, где коэффициент $k=2$.

Поскольку $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными (направлены в одну сторону).

Для нахождения отношения длин (модулей) векторов, возьмем модуль от обеих частей равенства:

$|\vec{b}| = |2\vec{a}|$

Используя свойство модуля вектора $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$, получаем:

$|\vec{b}| = |2| \cdot |\vec{a}| = 2|\vec{a}|$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$. Из предыдущего равенства выражаем $\frac{1}{|\vec{b}|} = \frac{1}{2|\vec{a}|}$. Умножаем на $|\vec{a}|$:

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{2|\vec{a}|}$

Так как векторы ненулевые, их модули не равны нулю, и мы можем сократить $|\vec{a}|$:

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{2}$

Ответ: векторы сонаправлены, $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{2}$.

2) Дано соотношение $\vec{a} = -\frac{1}{3}\vec{b}$.

Это соотношение вида $\vec{a} = k\vec{b}$, где коэффициент $k=-\frac{1}{3}$.

Поскольку $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются противоположно направленными.

Для нахождения отношения длин векторов, возьмем модуль от обеих частей равенства:

$|\vec{a}| = |-\frac{1}{3}\vec{b}|$

Используя свойство модуля вектора, получаем:

$|\vec{a}| = |-\frac{1}{3}| \cdot |\vec{b}| = \frac{1}{3}|\vec{b}|$

Чтобы найти отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$, разделим обе части равенства на $|\vec{b}|$ (так как $\vec{b}$ — ненулевой вектор, $|\vec{b}| \neq 0$):

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$

Ответ: векторы противоположно направленные, $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{1}{3}$.

3) Дано соотношение $\vec{b} = \sqrt{2}\vec{a}$.

Это соотношение вида $\vec{b} = k\vec{a}$, где коэффициент $k=\sqrt{2}$.

Поскольку $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются сонаправленными.

Для нахождения отношения длин векторов, возьмем модуль от обеих частей равенства:

$|\vec{b}| = |\sqrt{2}\vec{a}|$

Используя свойство модуля вектора, получаем:

$|\vec{b}| = |\sqrt{2}| \cdot |\vec{a}| = \sqrt{2}|\vec{a}|$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$:

$\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: векторы сонаправлены, $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

533. Выразите вектор $ \vec{p} $ из равенства:

1) $ \vec{q} = 3\vec{p}; $

2) $ \overrightarrow{AC} = -2\vec{p}; $

3) $ \frac{1}{2}\vec{p} = \vec{q}; $

4) $ 2\vec{p} = 3\vec{q}. $

1) Дано равенство $\vec{q} = 3\vec{p}$. Чтобы выразить вектор $\vec{p}$, необходимо выполнить алгебраическое преобразование, которое изолирует $\vec{p}$ в одной части уравнения. Для этого разделим обе части равенства на скаляр 3.
$\vec{q} = 3\vec{p}$
Делим обе части на 3:
$\frac{\vec{q}}{3} = \frac{3\vec{p}}{3}$
$\frac{1}{3}\vec{q} = \vec{p}$
Таким образом, получаем искомое выражение для вектора $\vec{p}$.
Ответ: $\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{q}$

2) Дано равенство $\overrightarrow{AC} = -2\vec{p}$. Чтобы выразить вектор $\vec{p}$, разделим обе части равенства на скаляр -2.
$\overrightarrow{AC} = -2\vec{p}$
Делим обе части на -2:
$\frac{\overrightarrow{AC}}{-2} = \frac{-2\vec{p}}{-2}$
$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \vec{p}$
Таким образом, получаем искомое выражение для вектора $\vec{p}$.
Ответ: $\vec{p} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

3) Дано равенство $\frac{1}{2}\vec{p} = \vec{q}$. Чтобы выразить вектор $\vec{p}$, необходимо умножить обе части равенства на скаляр 2, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{1}{2}$ при $\vec{p}$.
$\frac{1}{2}\vec{p} = \vec{q}$
Умножаем обе части на 2:
$2 \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{p}\right) = 2 \cdot \vec{q}$
$\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)\vec{p} = 2\vec{q}$
$1 \cdot \vec{p} = 2\vec{q}$
Таким образом, получаем искомое выражение для вектора $\vec{p}$.
Ответ: $\vec{p} = 2\vec{q}$

4) Дано равенство $2\vec{p} = 3\vec{q}$. Чтобы выразить вектор $\vec{p}$, необходимо разделить обе части равенства на скаляр 2.
$2\vec{p} = 3\vec{q}$
Делим обе части на 2:
$\frac{2\vec{p}}{2} = \frac{3\vec{q}}{2}$
$\vec{p} = \frac{3}{2}\vec{q}$
Таким образом, получаем искомое выражение для вектора $\vec{p}$.
Ответ: $\vec{p} = \frac{3}{2}\vec{q}$

534. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите:

1) вектор $\overrightarrow{AO}$ через вектор $\overrightarrow{AC}$;

2) вектор $\overrightarrow{BD}$ через вектор $\overrightarrow{BO}$;

3) вектор $\overrightarrow{CO}$ через вектор $\overrightarrow{AC}$.

По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. В нашем случае, в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. Из этого следует, что длины отрезков связаны соотношениями: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

1)

Рассмотрим векторы $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$. Оба вектора начинаются в точке $A$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление. Поскольку $O$ — середина $AC$, длина вектора $\vec{AO}$ равна половине длины вектора $\vec{AC}$.

Следовательно, связь между векторами выражается формулой: $\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC}$

2)

Рассмотрим векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BO}$. Оба вектора начинаются в точке $B$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BO}$ сонаправлены. Поскольку $O$ — середина $BD$, длина вектора $\vec{BD}$ в два раза больше длины вектора $\vec{BO}$.

Таким образом, вектор $\vec{BD}$ можно выразить через вектор $\vec{BO}$ следующим образом: $\vec{BD} = 2 \vec{BO}$.

Ответ: $\vec{BD} = 2 \vec{BO}$

3)

Рассмотрим векторы $\vec{CO}$ и $\vec{AC}$. Вектор $\vec{CO}$ направлен от точки $C$ к точке $O$. Вектор $\vec{AC}$ направлен от точки $A$ к точке $C$. Эти векторы лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Такие векторы называются противоположно направленными.

Длина вектора $\vec{CO}$ равна половине длины вектора $\vec{AC}$, так как $O$ — середина $AC$. Учитывая, что векторы направлены в противоположные стороны, при их выражении друг через друга появляется знак минус.

Следовательно, связь между векторами такова: $\vec{CO} = -\frac{1}{2} \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{CO} = -\frac{1}{2} \vec{AC}$

535. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Выразите вектор $\vec{AO}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В параллелограмме ABCD вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов его сторон, выходящих из одной вершины. По правилу параллелограмма для сложения векторов имеем:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Согласно условию задачи, нам даны векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Подставим эти значения в полученное равенство:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Одним из свойств параллелограмма является то, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Точка O является точкой пересечения диагоналей, следовательно, она является серединой диагонали AC.

Это означает, что вектор $\vec{AO}$ равен половине вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь, подставив выражение для $\vec{AC}$, мы можем выразить вектор $\vec{AO}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

536. В параллелограмме $ABCD$ на диагонали $AC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 1 : 3$. Выразите вектор $\overrightarrow{MC}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, где $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$.

Вектор диагонали AC параллелограмма ABCD можно выразить как сумму векторов, выходящих из той же вершины, по правилу параллелограмма:

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

Согласно условию, $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$. Подставим эти значения в выражение для $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Точка M делит диагональ AC в отношении $AM:MC = 1:3$. Это означает, что длина всего отрезка AC может быть представлена как $1 + 3 = 4$ части. Отрезок MC составляет 3 из этих 4 частей.

Так как точка M лежит на отрезке AC, то векторы $\overrightarrow{MC}$ и $\overrightarrow{AC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). Поэтому отношение их длин равно отношению их векторов:

$|\overrightarrow{MC}| = \frac{3}{4} |\overrightarrow{AC}|$

Следовательно, для векторов справедливо соотношение:

$\overrightarrow{MC} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$

Теперь подставим выражение для $\overrightarrow{AC}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\overrightarrow{MC} = \frac{3}{4} (\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\overrightarrow{MC} = \frac{3}{4}(\vec{a} + \vec{b})$

537. В параллелограмме ABCD точка M – середина стороны BC, $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$. Выразите векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Введены базисные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Требуется выразить векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MD}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{AM}$

Чтобы найти вектор $\vec{AM}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Мы можем представить вектор $\vec{AM}$ как сумму векторов, идущих из точки $A$ в точку $M$ по сторонам параллелограмма:

$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$

По условию, нам известен вектор $\vec{AB} = \vec{a}$.

Точка $M$ — середина стороны $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BM}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, лежащие на них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Так как $\vec{AD} = \vec{b}$, то и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Теперь мы можем выразить вектор $\vec{BM}$ через $\vec{b}$:

$\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Подставим известные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ в исходную формулу для $\vec{AM}$:

$\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{MD}$

Для нахождения вектора $\vec{MD}$ также воспользуемся правилом сложения векторов. Представим путь из точки $M$ в точку $D$ через вершины параллелограмма, например, через точку $C$:

$\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD}$

Вектор $\vec{MC}$ также является половиной вектора $\vec{BC}$, так как $M$ — середина $BC$:

$\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Вектор $\vec{CD}$ противоположен по направлению вектору $\vec{AB}$ (так как $CD$ и $AB$ — противоположные стороны параллелограмма). Следовательно:

$\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{MC}$ и $\vec{CD}$ в формулу для $\vec{MD}$:

$\vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{b} + (-\vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Другой способ найти $\vec{MD}$ — через правило разности векторов, исходящих из одной точки:

$\vec{MD} = \vec{AD} - \vec{AM}$

Мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$, а вектор $\vec{AM}$ мы уже нашли: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. Подставим эти значения:

$\vec{MD} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = (1 - \frac{1}{2})\vec{b} - \vec{a} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.

538. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Выразите:

1) вектор $\overrightarrow{MN}$ через вектор $\overrightarrow{CA}$;

2) вектор $\overrightarrow{AC}$ через вектор $\overrightarrow{MN}$.

Поскольку точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, отрезок MN является средней линией этого треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. В векторном виде это свойство означает, что вектор средней линии коллинеарен вектору третьей стороны и его длина в два раза меньше. Точнее, вектор, соединяющий середины сторон, равен половине вектора третьей стороны. Докажем это.

Выразим вектор $\vec{MN}$ по правилу треугольника (правило Шаля):

$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CN}$

Также можно выразить $\vec{MN}$ через другой путь:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

Поскольку M — середина AB, то $\vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Поскольку N — середина BC, то $\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Следовательно, мы получаем основное соотношение для средней линии в векторной форме:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Используя это соотношение, решим поставленные задачи.

1) Выразите вектор $\vec{MN}$ через вектор $\vec{CA}$.

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ являются противоположными, то есть они имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Это означает, что $\vec{AC} = -\vec{CA}$.

Подставим это равенство в нашу формулу:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{2}\vec{CA}$

Ответ: $\vec{MN} = -\frac{1}{2}\vec{CA}$

2) Выразите вектор $\vec{AC}$ через вектор $\vec{MN}$.

Воспользуемся полученной нами формулой $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Чтобы выразить $\vec{AC}$, нужно умножить обе части этого векторного равенства на 2:

$2 \cdot \vec{MN} = 2 \cdot (\frac{1}{2}\vec{AC})$

$2\vec{MN} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC} = 2\vec{MN}$