Страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число k, отличное от нуля?

1. Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на отличное от нуля число $k$ (также называемое скаляром) является новый вектор, который обозначается как $k\vec{a}$ или $\vec{a}k$. Этот новый вектор определяется его длиной (модулем) и направлением по следующим правилам:

• Длина (модуль) нового вектора равна произведению длины (модуля) исходного вектора $\vec{a}$ на абсолютное значение (модуль) числа $k$. Это можно записать в виде формулы:
  $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
  Это означает, что если, например, $k=2$, то длина вектора удваивается. Если $k=-0.5$, то длина вектора уменьшается вдвое.
• Направление нового вектора зависит от знака числа $k$:
  • Если $k > 0$ (положительное число), то вектор $k\vec{a}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{a}$. Говорят, что векторы $k\vec{a}$ и $\vec{a}$ сонаправлены.
  • Если $k < 0$ (отрицательное число), то вектор $k\vec{a}$ имеет направление, прямо противоположное направлению вектора $\vec{a}$. Говорят, что векторы $k\vec{a}$ и $\vec{a}$ противоположно направлены.

Таким образом, умножение вектора на число изменяет его длину (растягивает или сжимает) и, если число отрицательное, меняет его направление на 180 градусов.

Ответ: Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на отличное от нуля число $k$ является вектор, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$, и который сонаправлен вектору $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно направлен ему при $k < 0$.

личнос от нуля.

2. Чему равно произведение $k\vec{a}$, если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$?

Произведением числа (скаляра) $k$ на вектор $\vec{a}$ называется вектор, обозначаемый $k\vec{a}$. Результатом этого действия является новый вектор, свойства которого определяются следующим образом:

• Модуль (длина) вектора $k\vec{a}$ равен произведению модуля числа $k$ на модуль вектора $\vec{a}$: $|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$.
• Вектор $k\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$ (лежит на той же прямой или на параллельной). Если $k > 0$, то направление $k\vec{a}$ совпадает с направлением $\vec{a}$. Если $k < 0$, то направление $k\vec{a}$ противоположно направлению $\vec{a}$.

Рассмотрим два случая, указанных в условии задачи.

Если $k=0$

В этом случае необходимо найти произведение $0 \cdot \vec{a}$. Для этого определим модуль результирующего вектора, используя указанное выше свойство: $|0 \cdot \vec{a}| = |0| \cdot |\vec{a}| = 0 \cdot |\vec{a}| = 0$. Единственный вектор, модуль которого равен нулю, — это нулевой вектор (или нуль-вектор), который обозначается как $\vec{0}$. Таким образом, произведение равно нулевому вектору.

Ответ: $\vec{0}$.

Если $\vec{a}=\vec{0}$

В этом случае необходимо найти произведение $k \cdot \vec{0}$. Нулевой вектор $\vec{0}$ — это вектор, начало и конец которого совпадают, а его модуль равен нулю: $|\vec{0}|=0$. Найдем модуль результирующего вектора: $|k \cdot \vec{0}| = |k| \cdot |\vec{0}| = |k| \cdot 0 = 0$. Поскольку модуль результирующего вектора равен нулю, сам вектор является нулевым вектором.

Ответ: $\vec{0}$.

Таким образом, произведение скаляра на вектор равно нулевому вектору, если скаляр равен нулю или если исходный вектор является нулевым.

3. Что можно сказать о ненулевых векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{b} = k\vec{a}$, где $k$ — некоторое число?

Условие $\vec{b} = k\vec{a}$ для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является определением коллинеарности векторов. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Поскольку по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, то и число $k$ не может быть равно нулю. Если бы $k=0$, то $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$, что противоречит условию. Следовательно, $k \neq 0$. В зависимости от знака и величины коэффициента $k$ можно сделать следующие выводы.

Направление векторов. Если коэффициент $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление, что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$). Если же $k < 0$, то векторы противоположно направлены (обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Длины (модули) векторов. Длина вектора $\vec{b}$ связана с длиной вектора $\vec{a}$ соотношением: $|\vec{b}| = |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Это значит, что длина вектора $\vec{b}$ в $|k|$ раз отличается от длины вектора $\vec{a}$. Например, если $|k| > 1$, то вектор $\vec{b}$ длиннее вектора $\vec{a}$, а если $0 < |k| < 1$, то короче. Если $|k|=1$, то длины векторов равны, при этом если $k=1$, то $\vec{b} = \vec{a}$, а если $k=-1$, то $\vec{b} = -\vec{a}$.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются коллинеарными, то есть лежат на одной или на параллельных прямых. При $k > 0$ они сонаправлены, а при $k < 0$ — противоположно направлены. Их длины связаны соотношением $|\vec{b}| = |k||\vec{a}|$.

4. Известно, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, причём $\vec{a} \neq \vec{0}$. Как можно выразить вектор $\vec{b}$ через вектор $\vec{a}$?

По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Основным свойством коллинеарных векторов является то, что один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр).

Поскольку в условии задачи дано, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым ($\vec{a} \neq \vec{0}$), то для коллинеарного ему вектора $\vec{b}$ всегда существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Это и есть способ выразить вектор $\vec{b}$ через вектор $\vec{a}$. Число $k$ называется коэффициентом пропорциональности, и его значение определяет соотношение между векторами:

• Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). Длина вектора $\vec{b}$ при этом равна $|\vec{b}| = k \cdot |\vec{a}|$.
• Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Если $k = 0$, то вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{b} = \vec{0}$).

Ответ: Вектор $\vec{b}$ можно выразить через вектор $\vec{a}$ формулой $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, где $k$ — некоторое действительное число.

5. Вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1; a_2)$. Чему равны координаты вектора $\vec{ka}$?

5. По определению умножения вектора на число (скаляр), если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1; a_2)$, то для нахождения координат вектора $k\vec{a}$, где $k$ — некоторое число (скаляр), необходимо каждую координату вектора $\vec{a}$ умножить на это число $k$.
Таким образом, первая координата нового вектора будет равна произведению первой координаты исходного вектора на $k$, то есть $k \cdot a_1$.
Вторая координата нового вектора будет равна произведению второй координаты исходного вектора на $k$, то есть $k \cdot a_2$.
Следовательно, координаты вектора $k\vec{a}$ равны $(ka_1; ka_2)$.
Ответ: $(ka_1; ka_2)$.

6. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны $(a_1; a_2)$ и $(ka_1; ka_2)$?

Обозначим первый вектор как $\vec{a} = (a_1; a_2)$ и второй вектор как $\vec{b} = (ka_1; ka_2)$.

Мы видим, что координаты вектора $\vec{b}$ получены путем умножения соответствующих координат вектора $\vec{a}$ на одно и то же число $k$. Это является определением операции умножения вектора на скаляр (число): $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Два ненулевых вектора, для которых выполняется такое соотношение, называются коллинеарными. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В зависимости от значения скаляра $k$ можно сделать более точные выводы об их направлении и длине (при условии, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым).

• Если $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). Длина вектора $\vec{b}$ в $k$ раз больше длины вектора $\vec{a}$, то есть $|\vec{b}| = k \cdot |\vec{a}|$. В частном случае, если $k = 1$, векторы равны: $\vec{b} = \vec{a}$.
• Если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Длина вектора $\vec{b}$ в $|k|$ раз больше длины вектора $\vec{a}$, то есть $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}| = -k \cdot |\vec{a}|$.
• Если $k = 0$, то второй вектор становится нулевым вектором: $\vec{b} = (0 \cdot a_1; 0 \cdot a_2) = (0; 0)$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору.

Если же исходный вектор $\vec{a}$ сам является нулевым, то есть $\vec{a} = (0; 0)$, то и вектор $\vec{b}$ будет нулевым при любом значении $k$, так как $\vec{b} = (k \cdot 0; k \cdot 0) = (0; 0)$.

Ответ: Эти векторы коллинеарны, так как координаты одного вектора пропорциональны координатам другого с коэффициентом $k$. Если $k > 0$, они сонаправлены; если $k < 0$, они противоположно направлены; если $k = 0$, второй вектор является нулевым.

7. Как связаны между собой соответствующие координаты коллинеарных векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, называемое коэффициентом пропорциональности, что выполняется векторное равенство:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Это равенство можно расписать в координатной форме. Для векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ равенство $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$ означает равенство их соответствующих координат:

$(b_1; b_2) = (k \cdot a_1; k \cdot a_2)$

Это эквивалентно системе из двух уравнений:
$b_1 = k \cdot a_1$
$b_2 = k \cdot a_2$

Из данной системы следует, что соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если предположить, что координаты вектора $\vec{a}$ не равны нулю (т.е. $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$), то из каждого уравнения можно выразить коэффициент $k$ и приравнять полученные выражения:

$k = \frac{b_1}{a_1}$ и $k = \frac{b_2}{a_2}$

Отсюда следует основное соотношение для координат коллинеарных векторов:

$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$

Это означает, что отношение первых координат равно отношению вторых координат.

Примечание: В случае, если одна из координат вектора $\vec{a}$ равна нулю (например, $a_1=0$), то из условия $b_1 = k \cdot a_1$ следует, что и соответствующая координата вектора $\vec{b}$ также равна нулю ($b_1=0$). В такой ситуации запись в виде пропорции не всегда корректна из-за деления на ноль. Более универсальной является форма записи $a_1 b_2 = a_2 b_1$ или $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$, которая верна для любых коллинеарных векторов, включая те, у которых есть нулевые координаты.

Ответ: Соответствующие координаты коллинеарных векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, для которого выполняются равенства: $b_1 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot a_2$. Если координаты вектора $\vec{a}$ не равны нулю, это соотношение можно записать в виде пропорции: $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$.

8. Запишите сочетательное и распределительные свойства умножения вектора на число.

Сочетательное свойство умножения вектора на число

Для любых чисел (скаляров) $k$ и $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство, которое называется сочетательным, или ассоциативным, свойством:

$ (kl)\vec{a} = k(l\vec{a}) $

Это означает, что результат умножения вектора на произведение двух чисел не зависит от порядка выполнения умножения: можно сначала перемножить числа, а потом умножить вектор на полученное произведение, либо последовательно умножать вектор на каждое из чисел.

Ответ: $ (kl)\vec{a} = k(l\vec{a}) $

Распределительные свойства умножения вектора на число

Существует два распределительных (дистрибутивных) свойства, которые связывают операцию умножения вектора на число с операциями сложения.

1. Распределительное свойство относительно сложения векторов. Для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство:

$ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $

То есть, чтобы умножить сумму векторов на число, можно умножить на это число каждый вектор в отдельности и затем сложить полученные векторы.

2. Распределительное свойство относительно сложения чисел. Для любых чисел $k$ и $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство:

$ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $

То есть, чтобы умножить вектор на сумму чисел, можно умножить вектор на каждое число в отдельности и затем сложить полученные векторы.

Ответ: $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $ и $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $