Номер 6, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны $(a_1; a_2)$ и $(ka_1; ka_2)$?

Обозначим первый вектор как $\vec{a} = (a_1; a_2)$ и второй вектор как $\vec{b} = (ka_1; ka_2)$.

Мы видим, что координаты вектора $\vec{b}$ получены путем умножения соответствующих координат вектора $\vec{a}$ на одно и то же число $k$. Это является определением операции умножения вектора на скаляр (число): $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Два ненулевых вектора, для которых выполняется такое соотношение, называются коллинеарными. Это означает, что они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В зависимости от значения скаляра $k$ можно сделать более точные выводы об их направлении и длине (при условии, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым).

• Если $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). Длина вектора $\vec{b}$ в $k$ раз больше длины вектора $\vec{a}$, то есть $|\vec{b}| = k \cdot |\vec{a}|$. В частном случае, если $k = 1$, векторы равны: $\vec{b} = \vec{a}$.
• Если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Длина вектора $\vec{b}$ в $|k|$ раз больше длины вектора $\vec{a}$, то есть $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}| = -k \cdot |\vec{a}|$.
• Если $k = 0$, то второй вектор становится нулевым вектором: $\vec{b} = (0 \cdot a_1; 0 \cdot a_2) = (0; 0)$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору.

Если же исходный вектор $\vec{a}$ сам является нулевым, то есть $\vec{a} = (0; 0)$, то и вектор $\vec{b}$ будет нулевым при любом значении $k$, так как $\vec{b} = (k \cdot 0; k \cdot 0) = (0; 0)$.

Ответ: Эти векторы коллинеарны, так как координаты одного вектора пропорциональны координатам другого с коэффициентом $k$. Если $k > 0$, они сонаправлены; если $k < 0$, они противоположно направлены; если $k = 0$, второй вектор является нулевым.