Номер 521, страница 123 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

521. Докажите, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет $\frac{3}{4}$ площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Пусть $R$ — радиус данной окружности. Обозначим площадь правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, как $S_{вп}$, а площадь правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, как $S_{оп}$.

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника.

Для вписанного шестиугольника сторона каждого из этих равносторонних треугольников равна радиусу описанной окружности, то есть $R$. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле площади равностороннего треугольника со стороной $a$: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. В нашем случае $a=R$, поэтому площадь одного треугольника равна $S_1 = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.
Следовательно, площадь всего вписанного шестиугольника:
$S_{вп} = 6 \cdot S_1 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Для описанного шестиугольника радиус вписанной окружности $R$ является высотой (апофемой) каждого из 6 составляющих его равносторонних треугольников. Пусть сторона такого треугольника (и самого описанного шестиугольника) равна $b$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $b$ вычисляется как $h = \frac{b\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае $h=R$, поэтому $R = \frac{b\sqrt{3}}{2}$. Отсюда находим сторону описанного шестиугольника: $b = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
Площадь одного треугольника, из которых состоит описанный шестиугольник, равна половине произведения его основания на высоту: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot R = \frac{1}{2} \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} \cdot R = \frac{R^2}{\sqrt{3}}$.
Следовательно, площадь всего описанного шестиугольника:
$S_{оп} = 6 \cdot S_2 = 6 \cdot \frac{R^2}{\sqrt{3}} = \frac{6R^2\sqrt{3}}{3} = 2R^2\sqrt{3}$.

Теперь найдем отношение площадей $S_{вп}$ и $S_{оп}$:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}{2R^2\sqrt{3}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2 \cdot 2R^2\sqrt{3}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4R^2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.
Это доказывает, что площадь вписанного шестиугольника составляет $\frac{3}{4}$ площади описанного шестиугольника, то есть $S_{вп} = \frac{3}{4}S_{оп}$.

Ответ: Доказано, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет $\frac{3}{4}$ площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.