Номер 7, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Как связаны между собой соответствующие координаты коллинеарных векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$?

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, называемое коэффициентом пропорциональности, что выполняется векторное равенство:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Это равенство можно расписать в координатной форме. Для векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ равенство $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$ означает равенство их соответствующих координат:

$(b_1; b_2) = (k \cdot a_1; k \cdot a_2)$

Это эквивалентно системе из двух уравнений:
$b_1 = k \cdot a_1$
$b_2 = k \cdot a_2$

Из данной системы следует, что соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если предположить, что координаты вектора $\vec{a}$ не равны нулю (т.е. $a_1 \neq 0$ и $a_2 \neq 0$), то из каждого уравнения можно выразить коэффициент $k$ и приравнять полученные выражения:

$k = \frac{b_1}{a_1}$ и $k = \frac{b_2}{a_2}$

Отсюда следует основное соотношение для координат коллинеарных векторов:

$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$

Это означает, что отношение первых координат равно отношению вторых координат.

Примечание: В случае, если одна из координат вектора $\vec{a}$ равна нулю (например, $a_1=0$), то из условия $b_1 = k \cdot a_1$ следует, что и соответствующая координата вектора $\vec{b}$ также равна нулю ($b_1=0$). В такой ситуации запись в виде пропорции не всегда корректна из-за деления на ноль. Более универсальной является форма записи $a_1 b_2 = a_2 b_1$ или $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$, которая верна для любых коллинеарных векторов, включая те, у которых есть нулевые координаты.

Ответ: Соответствующие координаты коллинеарных векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, для которого выполняются равенства: $b_1 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot a_2$. Если координаты вектора $\vec{a}$ не равны нулю, это соотношение можно записать в виде пропорции: $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$.