Номер 523, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

523. Даны векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ (см. рис. 128). Постройте вектор:

1) $\frac{1}{2}\vec{a}$;

2) $-2\vec{b}$;

3) $-\frac{2}{3}\vec{c}$.

Рис. 128

Для решения задачи определим координаты данных векторов по клетчатой сетке, приняв сторону одной клетки за единицу длины.

• Вектор $\vec{a}$ смещается на 5 клеток вправо и 2 клетки вверх. Его координаты: $\vec{a} = (5, 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ смещается на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз. Его координаты: $\vec{b} = (1, -2)$.
• Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки вертикально вниз. Его координаты: $\vec{c} = (0, -3)$.

При умножении вектора на скаляр (число) $k$, каждая координата вектора умножается на этот скаляр. Результирующий вектор $k\vec{v}$ будет сонаправлен с вектором $\vec{v}$, если $k > 0$, и противоположно направлен, если $k < 0$. Его длина будет в $|k|$ раз отличаться от длины исходного вектора.

1) $\frac{1}{2}\vec{a}$

Требуется построить вектор, который является результатом умножения вектора $\vec{a}$ на число $\frac{1}{2}$. Так как множитель $k = \frac{1}{2}$ — положительное число, результирующий вектор будет сонаправлен с вектором $\vec{a}$, а его длина будет равна половине длины вектора $\vec{a}$.

Вычислим координаты нового вектора:

$\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}(5, 2) = (\frac{1}{2} \cdot 5, \frac{1}{2} \cdot 2) = (2.5, 1)$.

Для построения вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ нужно из произвольной точки на плоскости отложить вектор, конец которого смещен на 2.5 клетки вправо и 1 клетку вверх.

Ответ: Вектор с координатами $(2.5, 1)$.

2) $-2\vec{b}$

Требуется построить вектор, который является результатом умножения вектора $\vec{b}$ на число $-2$. Так как множитель $k = -2$ — отрицательное число, результирующий вектор будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{b}$, а его длина будет в $|-2| = 2$ раза больше длины вектора $\vec{b}$.

Вычислим координаты нового вектора:

$-2\vec{b} = -2(1, -2) = (-2 \cdot 1, -2 \cdot (-2)) = (-2, 4)$.

Для построения вектора $-2\vec{b}$ нужно из произвольной точки на плоскости отложить вектор, конец которого смещен на 2 клетки влево и 4 клетки вверх.

Ответ: Вектор с координатами $(-2, 4)$.

3) $-\frac{2}{3}\vec{c}$

Требуется построить вектор, который является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на число $-\frac{2}{3}$. Так как множитель $k = -\frac{2}{3}$ — отрицательное число, результирующий вектор будет направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{c}$, а его длина будет составлять $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{c}$.

Вычислим координаты нового вектора:

$-\frac{2}{3}\vec{c} = -\frac{2}{3}(0, -3) = (-\frac{2}{3} \cdot 0, -\frac{2}{3} \cdot (-3)) = (0, 2)$.

Для построения вектора $-\frac{2}{3}\vec{c}$ нужно из произвольной точки на плоскости отложить вертикальный вектор, направленный вверх, длиной 2 клетки.

Ответ: Вектор с координатами $(0, 2)$.