Номер 522, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

522. Даны векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ (рис. 128). Постройте вектор:

1) $2\vec{b}$;

2) $-\frac{1}{3}\vec{c}$;

3) $\frac{2}{3}\vec{a}$;

4) $-\frac{1}{6}\vec{a}$.

Рис. 128

Для построения требуемых векторов сначала определим координаты исходных векторов, принимая за единицу измерения сторону одной клетки сетки. Начало вектора можно поместить в любую точку плоскости.

• Вектор $\vec{a}$ смещается на 6 клеток вправо и на 2 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{a} = \{6; 2\}$.
• Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{b} = \{2; -2\}$.
• Вектор $\vec{c}$ смещается на 3 клетки вниз, следовательно, его координаты $\vec{c} = \{0; -3\}$.

Умножение вектора на число (скаляр) $k$ приводит к созданию нового вектора, который коллинеарен исходному. Длина нового вектора будет в $|k|$ раз больше длины исходного. Если $k > 0$, то направление вектора сохраняется. Если $k < 0$, то направление меняется на противоположное.

1) $2\vec{b}$
Чтобы построить вектор $2\vec{b}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{b}=\{2; -2\}$ на 2.$2\vec{b} = 2 \cdot \{2; -2\} = \{2 \cdot 2; 2 \cdot (-2)\} = \{4; -4\}$.Это означает, что нужно построить вектор, который начинается в произвольной точке и заканчивается в точке, смещенной на 4 клетки вправо и 4 клетки вниз. Направление вектора $2\vec{b}$ совпадает с направлением $\vec{b}$, а его длина в два раза больше.
Ответ: Вектор с координатами $\{4; -4\}$, то есть смещение на 4 клетки вправо и 4 клетки вниз.

2) $-\frac{1}{3}\vec{c}$
Чтобы построить вектор $-\frac{1}{3}\vec{c}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{c}=\{0; -3\}$ на $-\frac{1}{3}$.$-\frac{1}{3}\vec{c} = -\frac{1}{3} \cdot \{0; -3\} = \{-\frac{1}{3} \cdot 0; -\frac{1}{3} \cdot (-3)\} = \{0; 1\}$.Так как множитель отрицательный, вектор будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{c}$. Вектор $\vec{c}$ направлен на 3 клетки вниз, значит вектор $-\frac{1}{3}\vec{c}$ будет направлен на 1 клетку вверх.
Ответ: Вектор с координатами $\{0; 1\}$, то есть смещение на 1 клетку вверх.

3) $\frac{2}{3}\vec{a}$
Чтобы построить вектор $\frac{2}{3}\vec{a}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{a}=\{6; 2\}$ на $\frac{2}{3}$.$\frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2}{3} \cdot \{6; 2\} = \{\frac{2}{3} \cdot 6; \frac{2}{3} \cdot 2\} = \{4; \frac{4}{3}\}$.Это означает, что нужно построить вектор, который смещается на 4 клетки вправо и на $\frac{4}{3}$ (одна целая и одна треть) клетки вверх. Направление вектора совпадает с направлением $\vec{a}$.
Ответ: Вектор с координатами $\{4; \frac{4}{3}\}$, то есть смещение на 4 клетки вправо и $\frac{4}{3}$ клетки вверх.

4) $-\frac{1}{6}\vec{a}$
Чтобы построить вектор $-\frac{1}{6}\vec{a}$, нужно умножить координаты вектора $\vec{a}=\{6; 2\}$ на $-\frac{1}{6}$.$-\frac{1}{6}\vec{a} = -\frac{1}{6} \cdot \{6; 2\} = \{-\frac{1}{6} \cdot 6; -\frac{1}{6} \cdot 2\} = \{-1; -\frac{1}{3}\}$.Так как множитель отрицательный, вектор будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{a}$. Это означает смещение на 1 клетку влево и на $\frac{1}{3}$ клетки вниз.
Ответ: Вектор с координатами $\{-1; -\frac{1}{3}\}$, то есть смещение на 1 клетку влево и $\frac{1}{3}$ клетки вниз.