Номер 527, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

527. Начертите треугольник $ABC$. Отметьте точку $M$ – середину стороны $AC$.

1) От точки $M$ отложите вектор, равный вектору $\frac{1}{2}\vec{CB}$.

2) От точки $B$ отложите вектор, равный вектору $\frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC}$.

Сначала начертим произвольный треугольник $ABC$ и отметим точку $M$ как середину стороны $AC$, то есть $AM = MC$.

Чтобы найти искомый вектор, найдем точку $K$ — середину стороны $AB$. Рассмотрим вектор $\vec{MK}$, соединяющий середины сторон $AC$ и $AB$.Выразим вектор $\vec{MK}$ через векторы сторон треугольника, используя правило сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{MK} = \vec{MA} + \vec{AK}$

По определению, $M$ — середина $AC$, следовательно, вектор $\vec{MA}$ равен половине вектора $\vec{CA}$:

$\vec{MA} = \frac{1}{2}\vec{CA}$

Аналогично, так как $K$ — середина $AB$, вектор $\vec{AK}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Подставим эти выражения в исходное равенство для $\vec{MK}$:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{AB})$

По правилу сложения векторов $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{CB}$

Это означает, что искомый вектор, отложенный от точки $M$, — это вектор, идущий из точки $M$ в середину стороны $AB$.

Построение:

1. Найдите середину стороны $AB$ и обозначьте ее точкой $K$.

2. Начертите направленный отрезок из точки $M$ в точку $K$. Вектор $\vec{MK}$ является искомым.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{MK}$, где $K$ — середина стороны $AB$.

Рассмотрим вектор $\vec{BM}$, который является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к середине $M$ стороны $AC$. Выразим этот вектор через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Используя правило сложения векторов, можем записать:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

По условию, $M$ — середина стороны $AC$, поэтому $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь выразим вектор $\vec{AC}$ через векторы с общим началом в точке $B$. По правилу вычитания векторов: $\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$.

Подставим это выражение для $\vec{AC}$ в формулу для медианы:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{2}(\vec{BC} - \vec{BA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{BA} = (1 - \frac{1}{2})\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Полученное выражение в точности совпадает с вектором, который требуется отложить от точки $B$. Следовательно, искомый вектор — это медиана $\vec{BM}$.

Построение:

1. Точка $M$ (середина стороны $AC$) уже отмечена по условию.

2. Начертите направленный отрезок из точки $B$ в точку $M$. Вектор $\vec{BM}$ является искомым.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BM}$, где $M$ — середина стороны $AC$.