Страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

498. Докажите, что для любых $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$ выполняется равенство $\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_3A_4} + \dots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}$.

Для доказательства данного равенства, известного как правило многоугольника (или правило Шаля), воспользуемся представлением вектора через радиус-векторы его начальной и конечной точек. Выберем произвольную точку O в пространстве в качестве начала отсчета.

Любой вектор $\overrightarrow{AB}$ можно выразить как разность радиус-векторов его конца и начала: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства:
$S = \overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_3A_4} + ... + \overrightarrow{A_{n-1}A_n}$

Применим правило разности к каждому вектору-слагаемому в этой сумме:
$\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}$
$\overrightarrow{A_2A_3} = \overrightarrow{OA_3} - \overrightarrow{OA_2}$
$\overrightarrow{A_3A_4} = \overrightarrow{OA_4} - \overrightarrow{OA_3}$
...
$\overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_{n-1}}$

Теперь подставим эти выражения обратно в сумму $S$:
$S = (\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}) + (\overrightarrow{OA_3} - \overrightarrow{OA_2}) + (\overrightarrow{OA_4} - \overrightarrow{OA_3}) + ... + (\overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_{n-1}})$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые. Заметим, что сумма является телескопической: каждый радиус-вектор $\overrightarrow{OA_k}$ (для $k$ от 2 до $n-1$) входит в сумму дважды с противоположными знаками.
$S = -\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OA_3} - \overrightarrow{OA_3} + ... - \overrightarrow{OA_{n-1}} + \overrightarrow{OA_n}$

После сокращения всех промежуточных векторов $(\overrightarrow{OA_2}$ и $-\overrightarrow{OA_2}$, $\overrightarrow{OA_3}$ и $-\overrightarrow{OA_3}$ и т.д.) остаются только первый и последний члены:
$S = \overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_1}$

Это выражение, согласно определению разности радиус-векторов, равно вектору, проведенному из точки $A_1$ в точку $A_n$:
$\overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{A_1A_n}$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении каждого вектора $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ в виде разности радиус-векторов $(\overrightarrow{OA_{i+1}} - \overrightarrow{OA_i})$ относительно произвольного начала отсчета O. При суммировании все промежуточные радиус-векторы взаимно уничтожаются (получается телескопическая сумма), и в итоге остается выражение $\overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_1}$, которое равно вектору $\overrightarrow{A_1A_n}$.

499. Докажите, что для любых точек A, B, C, D, E выполняется равенство

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} = \vec{0}.$

Рис. 121

Для доказательства данного равенства воспользуемся правилом сложения векторов, известным как правило многоугольника (или правило замыкания). Это правило является обобщением правила треугольника для сложения векторов.

Согласно правилу треугольника, для любых трех точек $A$, $B$ и $C$ справедливо равенство: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Рассмотрим левую часть равенства, которое необходимо доказать: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}$

Будем последовательно применять правило сложения векторов, группируя слагаемые:

1. Сначала сложим первые два вектора: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив результат в исходное выражение, получим: $(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}$

2. Теперь сложим полученный вектор $\vec{AC}$ со следующим вектором $\vec{CD}$: $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Выражение примет вид: $(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AD} + \vec{DE} + \vec{EA}$

3. Далее, сложим вектор $\vec{AD}$ со следующим вектором $\vec{DE}$: $\vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}$

Выражение примет вид: $(\vec{AD} + \vec{DE}) + \vec{EA} = \vec{AE} + \vec{EA}$

4. На последнем шаге нам нужно сложить вектор $\vec{AE}$ и вектор $\vec{EA}$. Эти векторы коллинеарны, равны по модулю, но противоположно направлены. Это означает, что $\vec{EA} = -\vec{AE}$. Их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AE} + \vec{EA} = \vec{AE} + (-\vec{AE}) = \vec{0}$

Другой способ это показать — снова применить правило сложения. Суммой векторов $\vec{AE}$ и $\vec{EA}$ является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка $A$), а конец — с концом второго вектора (также точка $A$). Этот вектор обозначается как $\vec{AA}$ и является нулевым вектором. $\vec{AE} + \vec{EA} = \vec{AA} = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{0}$. Равенство выполняется для любых точек $A, B, C, D, E$, так как оно представляет собой векторную сумму по замкнутому контуру.

Ответ: Равенство доказано.

500. Выразите вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ (рис. 121).

Рис. 121

Чтобы выразить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$, воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов.

Рассмотрим путь из точки $B$ в точку $A$. Из рисунка видно, что этот путь можно составить, последовательно сложив векторы. Путь начинается в точке $B$, далее следует вектор $\vec{d}$, затем вектор $\vec{c}$, затем вектор $\vec{b}$ и, наконец, вектор $\vec{a}$, который заканчивается в точке $A$.

Таким образом, векторы $\vec{d}, \vec{c}, \vec{b}$ и $\vec{a}$ образуют ломаную линию, идущую из точки $B$ в точку $A$. По правилу многоугольника, вектор $\vec{BA}$, соединяющий начало первого вектора (точка $B$) с концом последнего (точка $A$), равен сумме векторов, составляющих эту ломаную:

$\vec{BA} = \vec{d} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{a}$

Используя свойство коммутативности (переместительности) сложения векторов, запишем сумму в алфавитном порядке:

$\vec{BA} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$

В задаче требуется найти вектор $\vec{AB}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, что означает $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

Подставив найденное выражение для $\vec{BA}$, получим:

$\vec{AB} = -(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$

Ответ: $\vec{AB} = -(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.

501. В параллелограмме $ABCD$ точки $M, N, K$ – середины сторон соответственно $AB, BC$ и $CD$. Выразите векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{AD}$ через векторы $\overrightarrow{MN} = \vec{m}, \overrightarrow{KN} = \vec{n}$.

Для решения задачи выразим данные векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через векторы сторон параллелограмма $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Мы будем использовать свойство средней линии треугольника.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно, отрезок $MN$ является его средней линией. По свойству средней линии, вектор $\vec{MN}$ равен половине вектора $\vec{AC}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
В параллелограмме $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Учитывая, что $\vec{BC} = \vec{AD}$, получаем $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Подставив это в выражение для $\vec{MN}$ и учитывая, что $\vec{MN} = \vec{m}$, получим первое уравнение:
$\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Так как точки $N$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно, отрезок $NK$ является его средней линией. Следовательно:
$\vec{NK} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Вектор второй диагонали $\vec{BD}$ можно выразить как разность векторов сторон: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Таким образом, $\vec{NK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$.
По условию нам дан вектор $\vec{KN} = \vec{n}$. Векторы $\vec{KN}$ и $\vec{NK}$ противоположны, то есть $\vec{KN} = -\vec{NK}$. Отсюда получаем второе уравнение:
$\vec{n} = \vec{KN} = -\vec{NK} = -\frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD})$.

3. Мы получили систему из двух векторных уравнений с неизвестными $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $$ \begin{cases} \vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) \\ \vec{n} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD}) \end{cases} $$ Умножим каждое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: $$ \begin{cases} 2\vec{m} = \vec{AB} + \vec{AD} & (1) \\ 2\vec{n} = \vec{AB} - \vec{AD} & (2) \end{cases} $$

4. Теперь решим эту систему.
Чтобы найти $\vec{AB}$, сложим уравнение (1) и уравнение (2):
$2\vec{m} + 2\vec{n} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AB} - \vec{AD})$
$2(\vec{m} + \vec{n}) = 2\vec{AB}$
$\vec{AB} = \vec{m} + \vec{n}$.
Нам нужно найти вектор $\vec{BA}$. Он противоположен вектору $\vec{AB}$:
$\vec{BA} = -\vec{AB} = -(\vec{m} + \vec{n}) = -\vec{m} - \vec{n}$.

Чтобы найти $\vec{AD}$, вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
$2\vec{m} - 2\vec{n} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - (\vec{AB} - \vec{AD})$
$2(\vec{m} - \vec{n}) = 2\vec{AD}$
$\vec{AD} = \vec{m} - \vec{n}$.

Ответ: $\vec{BA} = -\vec{m} - \vec{n}$; $\vec{AD} = \vec{m} - \vec{n}$.

502. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Выразите векторы $\overline{BA}$ и $\overline{AD}$ через векторы $\overline{DO} = \vec{a}$, $\overline{OC} = \vec{b}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Из этого следует, что $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. В виде векторов это свойство можно записать следующим образом: $\overline{AO} = \overline{OC}$ и $\overline{BO} = \overline{OD}$.

По условию задачи даны векторы $\overline{DO} = \vec{a}$ и $\overline{OC} = \vec{b}$.

Используя эти данные и свойства диагоналей, мы можем выразить другие векторы, необходимые для решения:

• $\overline{AO} = \overline{OC} = \vec{b}$
• $\overline{OD} = -\overline{DO} = -\vec{a}$
• $\overline{BO} = \overline{OD} = -\vec{a}$

$\overline{BA}$

Для нахождения вектора $\overline{BA}$ применим правило треугольника (сложение векторов) к треугольнику $AOB$: $\overline{BA} = \overline{BO} + \overline{OA}$.

Вектор $\overline{OA}$ является противоположным вектору $\overline{AO}$, значит $\overline{OA} = -\overline{AO} = -\vec{b}$.

Мы уже определили, что $\overline{BO} = -\vec{a}$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\overline{BA}$: $\overline{BA} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\overline{BA} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\overline{AD}$

Для нахождения вектора $\overline{AD}$ применим правило треугольника к треугольнику $AOD$: $\overline{AD} = \overline{AO} + \overline{OD}$.

Из наших предыдущих вычислений мы знаем, что $\overline{AO} = \vec{b}$ и $\overline{OD} = -\vec{a}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\overline{AD}$: $\overline{AD} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\overline{AD} = \vec{b} - \vec{a}$.

503. Дан четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что $\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD} = \vec{MA} - \vec{DA}$, где $M$ – произвольная точка.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя правила действий с векторами.

Преобразование левой части

Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD}$.

Воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля) для последовательного сложения векторов. Сначала сложим первые два вектора:

$\vec{MC} + \vec{CB} = \vec{MB}$

Теперь подставим полученный результат в выражение для левой части:

$(\vec{MC} + \vec{CB}) + \vec{BD} = \vec{MB} + \vec{BD}$

Снова применяем правило треугольника:

$\vec{MB} + \vec{BD} = \vec{MD}$

Таким образом, левая часть исходного равенства равна вектору $\vec{MD}$.

Преобразование правой части

Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{MA} - \vec{DA}$.

По определению, вычитание вектора равносильно сложению с противоположным ему вектором. Вектор, противоположный $\vec{DA}$, есть вектор $\vec{AD}$, то есть $-\vec{DA} = \vec{AD}$.

Заменим вычитание сложением:

$\vec{MA} - \vec{DA} = \vec{MA} + \vec{AD}$

Применяя правило треугольника для сложения векторов, получаем:

$\vec{MA} + \vec{AD} = \vec{MD}$

Таким образом, правая часть исходного равенства также равна вектору $\vec{MD}$.

Заключение

Мы показали, что левая часть равенства ($\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD}$) и правая часть равенства ($\vec{MA} - \vec{DA}$) равны одному и тому же вектору $\vec{MD}$.

$\vec{MD} = \vec{MD}$

Следовательно, исходное равенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

504. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм. Докажите, что $\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}$, где $M$ – произвольная точка.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его левую и правую части.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC}$.

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{BM}$ и $\vec{MD}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть вектору $\vec{BD}$.

$\vec{BM} + \vec{MD} = \vec{BD}$

Подставим полученный результат в левую часть исходного выражения:

$(\vec{BM} + \vec{MD}) + \vec{DC} = \vec{BD} + \vec{DC}$

Снова применим правило сложения векторов:

$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Таким образом, левая часть равенства равна $\vec{BC}$.

2. Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{CD} + \vec{AC}$.

По условию, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Одним из свойств параллелограмма является равенство векторов, соответствующих его противоположным сторонам. Следовательно, вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$ (они сонаправлены и их длины равны).

$\vec{CD} = \vec{BA}$

Заменим в правой части равенства вектор $\vec{CD}$ на $\vec{BA}$:

$\vec{CD} + \vec{AC} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Применив правило сложения векторов, получим:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Таким образом, правая часть равенства также равна $\vec{BC}$.

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{BC}$, то равенство $\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ:

505. Четырёхугольник ABCD – параллелограмм. Докажите, что:

1) $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB};$

2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{DA} = \vec{0}.$

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, для него выполняются следующие векторные равенства, основанные на свойствах параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны):
1. $\vec{AD} = \vec{BC}$ (и, следовательно, $\vec{DA} = \vec{CB}$)
2. $\vec{AB} = \vec{DC}$ (и, следовательно, $\vec{BA} = \vec{CD}$)

Для доказательства будем использовать эти свойства, а также правила сложения и вычитания векторов.

Необходимо доказать, что $\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DB} - \vec{DC} = \vec{AB}$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем векторы для удобства вычислений:

$\vec{AD} - \vec{BA} + (\vec{DB} - \vec{DC})$

По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало (точка D), разность $\vec{DB} - \vec{DC}$ равна вектору $\vec{CB}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{CB}$

Из свойств параллелограмма $ABCD$ мы знаем, что $\vec{CB} = \vec{DA}$. Заменим $\vec{CB}$ на $\vec{DA}$:

$\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DA}$

Перегруппируем слагаемые:

$(\vec{AD} + \vec{DA}) - \vec{BA}$

Сумма противоположных векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$ равна нулевому вектору: $\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{0} - \vec{BA} = -\vec{BA}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{BA}$, есть вектор $\vec{AB}$, то есть $-\vec{BA} = \vec{AB}$.

В итоге мы получили, что левая часть равенства равна $\vec{AB}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AD} - \vec{BA} + \vec{DB} - \vec{DC} = \vec{AB}$ доказано.

Необходимо доказать, что $\vec{AB} + \vec{CA} - \vec{DA} = \vec{0}$.

Преобразуем левую часть равенства. Заменим вычитание вектора $\vec{DA}$ на сложение противоположного ему вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{AD}$

Используя переместительное свойство сложения, поменяем слагаемые местами:

$\vec{CA} + \vec{AD} + \vec{AB}$

По правилу сложения векторов (правилу многоугольника или правилу Шаля), сумма $\vec{CA} + \vec{AD}$ равна вектору $\vec{CD}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{CD} + \vec{AB}$

Из свойств параллелограмма $ABCD$ известно, что векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны ($\vec{BA} = \vec{CD}$), так как они сонаправлены и их длины равны.

Заменим $\vec{CD}$ на $\vec{BA}$:

$\vec{BA} + \vec{AB}$

Сумма противоположных векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AB}$ равна нулевому вектору: $\vec{BA} + \vec{AB} = \vec{BB} = \vec{0}$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна $\vec{0}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{CA} - \vec{DA} = \vec{0}$ доказано.

506. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Докажите, что:

1) $ \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0} $;

2) $ \vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0} $.

1)

Рассмотрим сумму векторов $\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA}$. Воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов (правило Шаля) для первых двух слагаемых. Согласно этому правилу, сумма векторов, отложенных последовательно друг от друга, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго вектора. Таким образом:

$\vec{MB} + \vec{BC} = \vec{MC}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(\vec{MB} + \vec{BC}) + \vec{MA} = \vec{MC} + \vec{MA}$

По условию задачи, $BM$ — медиана треугольника $ABC$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $AC$. Векторы, проведенные из середины отрезка к его концам, равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}$.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Рассмотрим сумму векторов $\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA}$. Перегруппируем слагаемые, чтобы удобно применить правило треугольника:

$(\vec{MA} + \vec{AC}) + (\vec{MB} + \vec{BA})$

Применим правило треугольника к каждой паре векторов в скобках:

$\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}$

$\vec{MB} + \vec{BA} = \vec{MA}$

Подставим эти результаты в сгруппированное выражение:

$\vec{MC} + \vec{MA}$

Как было установлено в пункте 1, поскольку $M$ — середина стороны $AC$, сумма векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MC}$ равна нулевому вектору:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$

Следовательно, исходное выражение также равно нулевому вектору: $\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}$.

Ответ: Равенство доказано.

507. Докажите, что для неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется неравенство $|\vec{a}+\vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|.$

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.

Рассмотрим квадрат модуля (длины) вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$. По определению, квадрат модуля вектора равен его скалярному произведению на самого себя:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность и коммутативность скалярного произведения:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно выразить через их модули и косинус угла $\theta$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Подставив это выражение, получим:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2$

Теперь рассмотрим квадрат суммы модулей векторов $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Сравним два полученных выражения. По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Это означает, что они не лежат на одной прямой, следовательно, угол $\theta$ между ними не равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Для любого такого угла значение косинуса строго меньше единицы:

$\cos\theta < 1$

Поскольку модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это неотрицательные величины (и в данном случае положительные, так как иначе векторы были бы коллинеарны), их произведение $2|\vec{a}||\vec{b}|$ также положительно. Умножим обе части неравенства $\cos\theta < 1$ на $2|\vec{a}||\vec{b}|$:

$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta < 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Прибавим к обеим частям $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$:

$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2 < |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Заменяя левую и правую части на ранее полученные выражения, имеем:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 < (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Так как модуль вектора $|\vec{a} + \vec{b}|$ и сумма модулей $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ являются неотрицательными числами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Таким образом, неравенство доказано. Это неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Равенство в нем достигается только тогда, когда векторы коллинеарны и сонаправлены ($\cos\theta = 1$).

Ответ: Неравенство доказано.

508. Докажите, что для неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|.$

Данное неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$ известно как неравенство треугольника. Его можно доказать несколькими способами.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим треугольник, построенный на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отложим от произвольной точки O векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Вектор, соединяющий их концы, будет $\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Длины сторон треугольника OAB равны модулям соответствующих векторов: $OA = |\vec{a}|$, $OB = |\vec{b}|$ и $BA = |\vec{a} - \vec{b}|$.

По условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Это означает, что точки O, A и B не лежат на одной прямой и, следовательно, образуют невырожденный треугольник.

Для любого невырожденного треугольника справедливо неравенство, что длина любой его стороны строго меньше суммы длин двух других сторон. Применив это правило к стороне BA треугольника OAB, получим: $BA < OA + OB$.

Подставив в это соотношение выражения через векторы, получим исходное неравенство: $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Алгебраический

Докажем неравенство, используя свойства скалярного произведения. Поскольку обе части неравенства $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$ являются неотрицательными величинами, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства не изменится: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 < (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$.

Преобразуем левую часть, используя свойство скалярного квадрата вектора ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$): $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Правую часть раскроем по формуле квадрата суммы: $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Подставим полученные выражения обратно в неравенство: $|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 < |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$.

Упростим, вычтя из обеих частей $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$: $-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) < 2|\vec{a}||\vec{b}|$.

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный: $\vec{a} \cdot \vec{b} > -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Используем определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta > -|\vec{a}||\vec{b}|$.

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, они являются ненулевыми, а значит их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — строго положительные числа. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$: $\cos\theta > -1$.

Это неравенство является верным для любого угла $\theta$, за исключением случая $\theta = \pi$ (180°), при котором $\cos\theta = -1$. Угол $\theta = \pi$ соответствует коллинеарным и противоположно направленным векторам. Поскольку по условию задачи векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то $\theta \neq \pi$, и, следовательно, неравенство $\cos\theta > -1$ выполняется.

Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

509. Для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Докажите, что $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Нам дано равенство для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Поскольку обе части этого равенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом равенство останется верным:

$(|\vec{a} + \vec{b}|)^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к левой части равенства:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Правую часть раскроем как квадрат суммы:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Теперь приравняем полученные выражения:

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Вычтем из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Разделим обе части на 2:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$

По определению, скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла $\alpha$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$.

Подставим это определение в наше равенство:

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = |\vec{a}||\vec{b}|$

Так как по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ строго больше нуля. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$, не равное нулю:

$\cos\alpha = 1$

Угол между векторами может принимать значения от $0$ до $\pi$. Единственное значение угла $\alpha$ в этом диапазоне, для которого косинус равен 1, это $\alpha = 0$. Нулевой угол между векторами означает, что они сонаправлены. Таким образом, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, что и требовалось доказать.

Данное равенство также является случаем обращения в равенство известного неравенства треугольника для векторов: $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

Ответ: Доказано, что если для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$, то эти векторы сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).

510. Для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Докажите, что $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.

По условию для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство:

$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Так как обе части равенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, что является равносильным преобразованием:

$(|\vec{a} - \vec{b}|)^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к левой части равенства:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Правую часть раскроем по формуле квадрата суммы:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Теперь приравняем полученные выражения для левой и правой частей:

$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Упростим равенство, вычитая из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$:

$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Разделив обе части на -2, получим:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

По определению, скалярное произведение векторов выражается через косинус угла $\theta$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$.

Подставим это выражение в полученное нами равенство:

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию ненулевые, их модули $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части на произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$:

$\cos\theta = -1$

Это равенство верно только в том случае, когда угол $\theta$ между векторами равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Угол в $180^\circ$ означает, что векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

Таким образом, доказано, что $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство показывает, что из равенства $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ для ненулевых векторов следует, что косинус угла между ними равен -1. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то есть $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

511. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 2; 3;

2) 4; 6; 3;

3) 8; 9; 18?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором ($\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$), если эти векторы, отложенные последовательно друг от друга, образуют замкнутую фигуру (треугольник). Это возможно тогда и только тогда, когда их модули (длины) удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника должна быть меньше или равна сумме длин двух других сторон. Для проверки достаточно сравнить самый большой модуль с суммой двух других: самый большой модуль должен быть меньше или равен сумме двух других.

1) 5; 2; 3;

Наибольший модуль равен 5. Сравним его с суммой двух других модулей: $2 + 3 = 5$.
Поскольку $5 \le 2 + 3$ (в данном случае $5 = 5$), условие выполняется. Это соответствует случаю, когда векторы коллинеарны (лежат на одной прямой). Например, если вектор с модулем 5 направлен в одну сторону, а векторы с модулями 2 и 3 — в противоположную, их сумма будет нулевым вектором.
Ответ: да, может.

2) 4; 6; 3;

Наибольший модуль равен 6. Сравним его с суммой двух других модулей: $4 + 3 = 7$.
Поскольку $6 \le 4 + 3$ (в данном случае $6 < 7$), условие выполняется. Векторы с такими модулями могут образовать треугольник, следовательно, их сумма может быть нулевым вектором.
Ответ: да, может.

3) 8; 9; 18?

Наибольший модуль равен 18. Сравним его с суммой двух других модулей: $8 + 9 = 17$.
Поскольку $18 > 17$, неравенство треугольника не выполняется. Из отрезков такой длины нельзя составить треугольник. Следовательно, сумма трех векторов с такими модулями не может быть нулевым вектором.
Это также следует из неравенства для модулей векторов: $|\vec{u} + \vec{v}| \le |\vec{u}| + |\vec{v}|$. Если бы сумма трех векторов $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ с данными модулями была равна нулю, то $\vec{v_3} = -(\vec{v_1} + \vec{v_2})$, и тогда $|\vec{v_3}| = |\vec{v_1} + \vec{v_2}|$. Применяя неравенство, получаем $|\vec{v_3}| \le |\vec{v_1}| + |\vec{v_2}|$. Для наших модулей это означало бы $18 \le 8 + 9$, или $18 \le 17$, что неверно.
Ответ: нет, не может.