Номер 510, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

510. Для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Докажите, что $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.

По условию для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство:

$|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Так как обе части равенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, что является равносильным преобразованием:

$(|\vec{a} - \vec{b}|)^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к левой части равенства:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Правую часть раскроем по формуле квадрата суммы:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Теперь приравняем полученные выражения для левой и правой частей:

$|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Упростим равенство, вычитая из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$:

$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Разделив обе части на -2, получим:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$

По определению, скалярное произведение векторов выражается через косинус угла $\theta$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$.

Подставим это выражение в полученное нами равенство:

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}|$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию ненулевые, их модули $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части на произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$:

$\cos\theta = -1$

Это равенство верно только в том случае, когда угол $\theta$ между векторами равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Угол в $180^\circ$ означает, что векторы коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

Таким образом, доказано, что $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство показывает, что из равенства $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ для ненулевых векторов следует, что косинус угла между ними равен -1. Это означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то есть $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.