Номер 503, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

503. Дан четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что $\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD} = \vec{MA} - \vec{DA}$, где $M$ – произвольная точка.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя правила действий с векторами.

Преобразование левой части

Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD}$.

Воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля) для последовательного сложения векторов. Сначала сложим первые два вектора:

$\vec{MC} + \vec{CB} = \vec{MB}$

Теперь подставим полученный результат в выражение для левой части:

$(\vec{MC} + \vec{CB}) + \vec{BD} = \vec{MB} + \vec{BD}$

Снова применяем правило треугольника:

$\vec{MB} + \vec{BD} = \vec{MD}$

Таким образом, левая часть исходного равенства равна вектору $\vec{MD}$.

Преобразование правой части

Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{MA} - \vec{DA}$.

По определению, вычитание вектора равносильно сложению с противоположным ему вектором. Вектор, противоположный $\vec{DA}$, есть вектор $\vec{AD}$, то есть $-\vec{DA} = \vec{AD}$.

Заменим вычитание сложением:

$\vec{MA} - \vec{DA} = \vec{MA} + \vec{AD}$

Применяя правило треугольника для сложения векторов, получаем:

$\vec{MA} + \vec{AD} = \vec{MD}$

Таким образом, правая часть исходного равенства также равна вектору $\vec{MD}$.

Заключение

Мы показали, что левая часть равенства ($\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD}$) и правая часть равенства ($\vec{MA} - \vec{DA}$) равны одному и тому же вектору $\vec{MD}$.

$\vec{MD} = \vec{MD}$

Следовательно, исходное равенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.