Номер 498, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

498. Докажите, что для любых $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$ выполняется равенство $\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_3A_4} + \dots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}$.

Для доказательства данного равенства, известного как правило многоугольника (или правило Шаля), воспользуемся представлением вектора через радиус-векторы его начальной и конечной точек. Выберем произвольную точку O в пространстве в качестве начала отсчета.

Любой вектор $\overrightarrow{AB}$ можно выразить как разность радиус-векторов его конца и начала: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства:
$S = \overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \overrightarrow{A_3A_4} + ... + \overrightarrow{A_{n-1}A_n}$

Применим правило разности к каждому вектору-слагаемому в этой сумме:
$\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}$
$\overrightarrow{A_2A_3} = \overrightarrow{OA_3} - \overrightarrow{OA_2}$
$\overrightarrow{A_3A_4} = \overrightarrow{OA_4} - \overrightarrow{OA_3}$
...
$\overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_{n-1}}$

Теперь подставим эти выражения обратно в сумму $S$:
$S = (\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}) + (\overrightarrow{OA_3} - \overrightarrow{OA_2}) + (\overrightarrow{OA_4} - \overrightarrow{OA_3}) + ... + (\overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_{n-1}})$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые. Заметим, что сумма является телескопической: каждый радиус-вектор $\overrightarrow{OA_k}$ (для $k$ от 2 до $n-1$) входит в сумму дважды с противоположными знаками.
$S = -\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OA_3} - \overrightarrow{OA_3} + ... - \overrightarrow{OA_{n-1}} + \overrightarrow{OA_n}$

После сокращения всех промежуточных векторов $(\overrightarrow{OA_2}$ и $-\overrightarrow{OA_2}$, $\overrightarrow{OA_3}$ и $-\overrightarrow{OA_3}$ и т.д.) остаются только первый и последний члены:
$S = \overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_1}$

Это выражение, согласно определению разности радиус-векторов, равно вектору, проведенному из точки $A_1$ в точку $A_n$:
$\overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{A_1A_n}$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении каждого вектора $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ в виде разности радиус-векторов $(\overrightarrow{OA_{i+1}} - \overrightarrow{OA_i})$ относительно произвольного начала отсчета O. При суммировании все промежуточные радиус-векторы взаимно уничтожаются (получается телескопическая сумма), и в итоге остается выражение $\overrightarrow{OA_n} - \overrightarrow{OA_1}$, которое равно вектору $\overrightarrow{A_1A_n}$.