Номер 495, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

495. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$) равен 4 см. Найдите $\left| \vec{AC} + \vec{CB} \right|$.

По условию, дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $|AC| = |BC|$. Длина катета равна 4 см, следовательно, $|AC| = |BC| = 4$ см.

Требуется найти модуль суммы векторов $|\vec{AC} + \vec{CB}|$.

Для сложения векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ воспользуемся правилом треугольника (также известным как тождество Шаля). Согласно этому правилу, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, конец вектора $\vec{AC}$ (точка C) совпадает с началом вектора $\vec{CB}$ (точка C).

Таким образом, сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Следовательно, найти модуль суммы векторов $|\vec{AC} + \vec{CB}|$ — это то же самое, что найти модуль вектора $|\vec{AB}|$, который равен длине гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$.

Длину гипотенузы найдем по теореме Пифагора:

$|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2$

Подставим известные значения длин катетов:

$|AB|^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину $AB$:

$|AB| = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Таким образом, $|\vec{AC} + \vec{CB}| = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.