Номер 490, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

490. Даны точки A (1; -3), B (4; 5), C (-2; -1), D (3; 0). Найдите:

1) координаты векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}$;

2) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}|$, $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}|$.

Даны точки $A(1; -3)$, $B(4; 5)$, $C(-2; -1)$, $D(3; 0)$.

Для начала найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$. Координаты вектора, заданного начальной точкой $(x_1; y_1)$ и конечной точкой $(x_2; y_2)$, находятся по формуле $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \{4 - 1; 5 - (-3)\} = \{3; 8\}$

Координаты вектора $\vec{CD}$:

$\vec{CD} = \{3 - (-2); 0 - (-1)\} = \{5; 1\}$

1) координаты векторов $\vec{AB} + \vec{CD}$ и $\vec{AB} - \vec{CD}$

Сложение и вычитание векторов производится покоординатно.

Найдем координаты вектора-суммы $\vec{AB} + \vec{CD}$:

$\vec{AB} + \vec{CD} = \{3 + 5; 8 + 1\} = \{8; 9\}$

Найдем координаты вектора-разности $\vec{AB} - \vec{CD}$:

$\vec{AB} - \vec{CD} = \{3 - 5; 8 - 1\} = \{-2; 7\}$

Ответ: Координаты вектора $\vec{AB} + \vec{CD}$ равны $\{8; 9\}$, а вектора $\vec{AB} - \vec{CD}$ равны $\{-2; 7\}$.

2) $|\vec{AB} + \vec{CD}|$, $|\vec{AB} - \vec{CD}|$

Модуль (длина) вектора $\vec{a} = \{x; y\}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Найдем модуль вектора $\vec{AB} + \vec{CD} = \{8; 9\}$:

$|\vec{AB} + \vec{CD}| = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}$

Найдем модуль вектора $\vec{AB} - \vec{CD} = \{-2; 7\}$:

$|\vec{AB} - \vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$

Ответ: $|\vec{AB} + \vec{CD}| = \sqrt{145}$, $|\vec{AB} - \vec{CD}| = \sqrt{53}$.