Номер 487, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

487. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$.

По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Это означает, что точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

Рассмотрим векторы, исходящие из точки $O$ к вершинам на диагонали $AC$. Поскольку $O$ — середина отрезка $AC$, то векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ равны по длине (модулю) и противоположны по направлению. Следовательно, они являются противоположными векторами: $\vec{OA} = -\vec{OC}$. Их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$

Аналогично, рассмотрим векторы, исходящие из точки $O$ к вершинам на диагонали $BD$. Поскольку $O$ — середина отрезка $BD$, то векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ также равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, они также являются противоположными векторами: $\vec{OB} = -\vec{OD}$. Их сумма также равна нулевому вектору:

$\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$

Теперь преобразуем сумму векторов, которую необходимо доказать:

$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}$

Сгруппируем слагаемые, относящиеся к одной диагонали:

$(\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD})$

Подставим в это выражение найденные ранее суммы векторов:

$\vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$.

Ответ: Равенство доказано.