Номер 484, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

484. Докажите, что для любых точек A, B, C, D выполняется равенство:

1) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$;

2) $\vec{CA} - \vec{CB} = \vec{DA} - \vec{DB}$;

3) $\vec{AC} + \vec{CB} - \vec{AD} = \vec{DB}.$

1) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$ преобразуем его левую и правую части по отдельности, используя правило треугольника для сложения векторов (правило Шаля).

Левая часть: по правилу треугольника, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C).
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Правая часть: аналогично, сумма векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C).
$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AC}$, то исходное равенство верно.
Ответ: Доказано.

2) Для доказательства равенства $\vec{CA} - \vec{CB} = \vec{DA} - \vec{DB}$ воспользуемся правилом вычитания векторов, имеющих общее начало. Разность векторов $\vec{OX} - \vec{OY}$ равна вектору $\vec{YX}$.

Левая часть: векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ имеют общее начало в точке C. Применяя правило вычитания, получаем:
$\vec{CA} - \vec{CB} = \vec{BA}$.

Правая часть: векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DB}$ имеют общее начало в точке D. Применяя то же правило, получаем:
$\vec{DA} - \vec{DB} = \vec{BA}$.

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{BA}$, то исходное равенство верно.
Ответ: Доказано.

3) Для доказательства равенства $\vec{AC} + \vec{CB} - \vec{AD} = \vec{DB}$ преобразуем его левую часть.

Сначала сложим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ по правилу треугольника:
$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:
$(\vec{AC} + \vec{CB}) - \vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Преобразуем полученную разность, используя свойство, что вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора ($-\vec{AD} = \vec{DA}$):
$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{AB} + (-\vec{AD}) = \vec{AB} + \vec{DA}$.

Переставим слагаемые для наглядности (сложение векторов коммутативно) и применим правило треугольника:
$\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$.

Таким образом, левая часть равенства равна $\vec{DB}$, что совпадает с правой частью. Исходное равенство верно.
Ответ: Доказано.