Номер 488, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

488. Даны четырёхугольник $ABCD$ и некоторая точка $O$. Известно, что $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм.

По условию задачи нам дано векторное равенство для вершин четырёхугольника $ABCD$ и некоторой точки $O$: $ \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{OB} - \vec{OC} $.

Для доказательства того, что четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. В векторной форме это условие для сторон $AD$ и $BC$ выглядит как $ \vec{AD} = \vec{BC} $, или для сторон $AB$ и $DC$ как $ \vec{AB} = \vec{DC} $.

Преобразуем данное в условии равенство, используя правило вычитания векторов. Для любых точек $X$, $Y$, $Z$ разность векторов $ \vec{ZX} - \vec{ZY} $ равна вектору $ \vec{YX} $.

Применим это правило к левой части исходного равенства: $ \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{DA} $.

Теперь применим то же правило к правой части равенства: $ \vec{OB} - \vec{OC} = \vec{CB} $.

Таким образом, исходное равенство $ \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{OB} - \vec{OC} $ равносильно равенству: $ \vec{DA} = \vec{CB} $.

Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (т.е. они коллинеарны и сонаправлены). Из равенства $ \vec{DA} = \vec{CB} $ следует, что:

• Длины векторов равны: $ |\vec{DA}| = |\vec{CB}| $, что означает равенство длин отрезков $DA$ и $CB$.
• Векторы сонаправлены, что означает параллельность прямых, на которых они лежат: $DA \parallel CB$.

В четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ являются противоположными. Мы доказали, что эти стороны равны по длине и параллельны. Следовательно, по вышеупомянутому признаку, четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.