Номер 485, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

485. Докажите, что для любых точек A, B, C, D выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC};$

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD};$

3) $\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC}.$

1) Докажем равенство $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BD} + \vec{DC}$.

Для доказательства будем использовать правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, согласно которому для любых трех точек $P, Q, R$ выполняется $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.

Преобразуем левую часть равенства, применив это правило к точкам $B, A, C$:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Теперь преобразуем правую часть равенства, применив правило к точкам $B, D, C$:

$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Так как левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{BC}$, то исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{CB} - \vec{CD}$.

Для доказательства используем правило вычитания векторов с общим началом, согласно которому для любых трех точек $O, P, Q$ выполняется $\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$.

Рассмотрим левую часть равенства. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ имеют общее начало в точке $A$. По правилу вычитания:

$\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$

Рассмотрим правую часть равенства. Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$ имеют общее начало в точке $C$. По правилу вычитания:

$\vec{CB} - \vec{CD} = \vec{DB}$

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же вектору $\vec{DB}$, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем равенство $\vec{BA} - \vec{BD} + \vec{AC} = \vec{DC}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя правила действий с векторами.

Сначала выполним вычитание векторов $\vec{BA} - \vec{BD}$. Они имеют общее начало в точке $B$. Согласно правилу вычитания векторов ($\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$), получаем:

$\vec{BA} - \vec{BD} = \vec{DA}$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для левой части:

$(\vec{BA} - \vec{BD}) + \vec{AC} = \vec{DA} + \vec{AC}$

Далее, к сумме векторов $\vec{DA} + \vec{AC}$ применим правило треугольника для сложения, так как конец вектора $\vec{DA}$ (точка $A$) совпадает с началом вектора $\vec{AC}$ (точка $A$):

$\vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DC}$

В результате преобразований мы показали, что левая часть равенства равна $\vec{DC}$, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.