Номер 497, страница 121 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

497. Пловец со скоростью $\sqrt{3}$ м/с переплывает речку в направлении, перпендикулярном параллельным берегам. Скорость течения равна 1 м/с. Под каким углом к направлению, перпендикулярному берегам, перемещается пловец?

Для решения задачи представим скорости в виде векторов. Пусть ось OY направлена перпендикулярно берегам (в направлении, в котором плывет пловец относительно воды), а ось OX — параллельно берегам (в направлении течения реки).

Скорость пловца относительно воды, $v_{п}$, направлена перпендикулярно берегам, то есть вдоль оси OY. Ее величина составляет $v_{п} = \sqrt{3}$ м/с.

Скорость течения, $v_{т}$, направлена вдоль берега, то есть вдоль оси OX. Ее величина составляет $v_{т} = 1$ м/с.

Результирующая скорость пловца относительно берега, $\vec{v}_{рез}$, является векторной суммой скорости пловца относительно воды и скорости течения:

$\vec{v}_{рез} = \vec{v}_{п} + \vec{v}_{т}$

Так как векторы $\vec{v}_{п}$ и $\vec{v}_{т}$ взаимно перпендикулярны, они образуют катеты прямоугольного треугольника, в котором гипотенузой является вектор результирующей скорости $\vec{v}_{рез}$.

Угол $\alpha$, под которым перемещается пловец к направлению, перпендикулярному берегам, — это угол между вектором результирующей скорости $\vec{v}_{рез}$ и вектором скорости пловца $\vec{v}_{п}$ (который направлен перпендикулярно берегу).

В получившемся прямоугольном треугольнике скоростей тангенс этого угла можно найти как отношение противолежащего катета (модуля скорости течения $v_{т}$) к прилежащему катету (модулю скорости пловца $v_{п}$):

$\tan(\alpha) = \frac{v_{т}}{v_{п}}$

Подставим известные значения:

$\tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$