Номер 501, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

501. В параллелограмме $ABCD$ точки $M, N, K$ – середины сторон соответственно $AB, BC$ и $CD$. Выразите векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{AD}$ через векторы $\overrightarrow{MN} = \vec{m}, \overrightarrow{KN} = \vec{n}$.

Для решения задачи выразим данные векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ через векторы сторон параллелограмма $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Мы будем использовать свойство средней линии треугольника.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно, отрезок $MN$ является его средней линией. По свойству средней линии, вектор $\vec{MN}$ равен половине вектора $\vec{AC}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
В параллелограмме $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ является суммой векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Учитывая, что $\vec{BC} = \vec{AD}$, получаем $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Подставив это в выражение для $\vec{MN}$ и учитывая, что $\vec{MN} = \vec{m}$, получим первое уравнение:
$\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Так как точки $N$ и $K$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно, отрезок $NK$ является его средней линией. Следовательно:
$\vec{NK} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Вектор второй диагонали $\vec{BD}$ можно выразить как разность векторов сторон: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Таким образом, $\vec{NK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$.
По условию нам дан вектор $\vec{KN} = \vec{n}$. Векторы $\vec{KN}$ и $\vec{NK}$ противоположны, то есть $\vec{KN} = -\vec{NK}$. Отсюда получаем второе уравнение:
$\vec{n} = \vec{KN} = -\vec{NK} = -\frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD})$.

3. Мы получили систему из двух векторных уравнений с неизвестными $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $$ \begin{cases} \vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) \\ \vec{n} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD}) \end{cases} $$ Умножим каждое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: $$ \begin{cases} 2\vec{m} = \vec{AB} + \vec{AD} & (1) \\ 2\vec{n} = \vec{AB} - \vec{AD} & (2) \end{cases} $$

4. Теперь решим эту систему.
Чтобы найти $\vec{AB}$, сложим уравнение (1) и уравнение (2):
$2\vec{m} + 2\vec{n} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AB} - \vec{AD})$
$2(\vec{m} + \vec{n}) = 2\vec{AB}$
$\vec{AB} = \vec{m} + \vec{n}$.
Нам нужно найти вектор $\vec{BA}$. Он противоположен вектору $\vec{AB}$:
$\vec{BA} = -\vec{AB} = -(\vec{m} + \vec{n}) = -\vec{m} - \vec{n}$.

Чтобы найти $\vec{AD}$, вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
$2\vec{m} - 2\vec{n} = (\vec{AB} + \vec{AD}) - (\vec{AB} - \vec{AD})$
$2(\vec{m} - \vec{n}) = 2\vec{AD}$
$\vec{AD} = \vec{m} - \vec{n}$.

Ответ: $\vec{BA} = -\vec{m} - \vec{n}$; $\vec{AD} = \vec{m} - \vec{n}$.