Номер 502, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

502. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Выразите векторы $\overline{BA}$ и $\overline{AD}$ через векторы $\overline{DO} = \vec{a}$, $\overline{OC} = \vec{b}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Из этого следует, что $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$. В виде векторов это свойство можно записать следующим образом: $\overline{AO} = \overline{OC}$ и $\overline{BO} = \overline{OD}$.

По условию задачи даны векторы $\overline{DO} = \vec{a}$ и $\overline{OC} = \vec{b}$.

Используя эти данные и свойства диагоналей, мы можем выразить другие векторы, необходимые для решения:

• $\overline{AO} = \overline{OC} = \vec{b}$
• $\overline{OD} = -\overline{DO} = -\vec{a}$
• $\overline{BO} = \overline{OD} = -\vec{a}$

$\overline{BA}$

Для нахождения вектора $\overline{BA}$ применим правило треугольника (сложение векторов) к треугольнику $AOB$: $\overline{BA} = \overline{BO} + \overline{OA}$.

Вектор $\overline{OA}$ является противоположным вектору $\overline{AO}$, значит $\overline{OA} = -\overline{AO} = -\vec{b}$.

Мы уже определили, что $\overline{BO} = -\vec{a}$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\overline{BA}$: $\overline{BA} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\overline{BA} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\overline{AD}$

Для нахождения вектора $\overline{AD}$ применим правило треугольника к треугольнику $AOD$: $\overline{AD} = \overline{AO} + \overline{OD}$.

Из наших предыдущих вычислений мы знаем, что $\overline{AO} = \vec{b}$ и $\overline{OD} = -\vec{a}$.

Подставим эти выражения в формулу для $\overline{AD}$: $\overline{AD} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\overline{AD} = \vec{b} - \vec{a}$.