Номер 509, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

509. Для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Докажите, что $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов. Нам дано равенство для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Поскольку обе части этого равенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом равенство останется верным:

$(|\vec{a} + \vec{b}|)^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к левой части равенства:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Правую часть раскроем как квадрат суммы:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Теперь приравняем полученные выражения:

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Вычтем из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Разделим обе части на 2:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$

По определению, скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла $\alpha$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$.

Подставим это определение в наше равенство:

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha = |\vec{a}||\vec{b}|$

Так как по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ строго больше нуля. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на произведение $|\vec{a}||\vec{b}|$, не равное нулю:

$\cos\alpha = 1$

Угол между векторами может принимать значения от $0$ до $\pi$. Единственное значение угла $\alpha$ в этом диапазоне, для которого косинус равен 1, это $\alpha = 0$. Нулевой угол между векторами означает, что они сонаправлены. Таким образом, $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, что и требовалось доказать.

Данное равенство также является случаем обращения в равенство известного неравенства треугольника для векторов: $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

Ответ: Доказано, что если для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$, то эти векторы сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).