Номер 504, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

504. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм. Докажите, что $\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}$, где $M$ – произвольная точка.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его левую и правую части.

1. Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC}$.

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{BM}$ и $\vec{MD}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть вектору $\vec{BD}$.

$\vec{BM} + \vec{MD} = \vec{BD}$

Подставим полученный результат в левую часть исходного выражения:

$(\vec{BM} + \vec{MD}) + \vec{DC} = \vec{BD} + \vec{DC}$

Снова применим правило сложения векторов:

$\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}$

Таким образом, левая часть равенства равна $\vec{BC}$.

2. Рассмотрим правую часть равенства: $\vec{CD} + \vec{AC}$.

По условию, четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Одним из свойств параллелограмма является равенство векторов, соответствующих его противоположным сторонам. Следовательно, вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$ (они сонаправлены и их длины равны).

$\vec{CD} = \vec{BA}$

Заменим в правой части равенства вектор $\vec{CD}$ на $\vec{BA}$:

$\vec{CD} + \vec{AC} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Применив правило сложения векторов, получим:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Таким образом, правая часть равенства также равна $\vec{BC}$.

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{BC}$, то равенство $\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}$ является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: