Номер 507, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

507. Докажите, что для неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется неравенство $|\vec{a}+\vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|.$

Для доказательства воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов.

Рассмотрим квадрат модуля (длины) вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$. По определению, квадрат модуля вектора равен его скалярному произведению на самого себя:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность и коммутативность скалярного произведения:

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно выразить через их модули и косинус угла $\theta$ между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

Подставив это выражение, получим:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2$

Теперь рассмотрим квадрат суммы модулей векторов $(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Сравним два полученных выражения. По условию, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Это означает, что они не лежат на одной прямой, следовательно, угол $\theta$ между ними не равен $0^\circ$ или $180^\circ$. Для любого такого угла значение косинуса строго меньше единицы:

$\cos\theta < 1$

Поскольку модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это неотрицательные величины (и в данном случае положительные, так как иначе векторы были бы коллинеарны), их произведение $2|\vec{a}||\vec{b}|$ также положительно. Умножим обе части неравенства $\cos\theta < 1$ на $2|\vec{a}||\vec{b}|$:

$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta < 2|\vec{a}||\vec{b}|$

Прибавим к обеим частям $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$:

$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta + |\vec{b}|^2 < |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Заменяя левую и правую части на ранее полученные выражения, имеем:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 < (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Так как модуль вектора $|\vec{a} + \vec{b}|$ и сумма модулей $|\vec{a}| + |\vec{b}|$ являются неотрицательными числами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак:

$|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Таким образом, неравенство доказано. Это неравенство известно как неравенство треугольника для векторов. Равенство в нем достигается только тогда, когда векторы коллинеарны и сонаправлены ($\cos\theta = 1$).

Ответ: Неравенство доказано.