Номер 9, страница 119 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Какие векторы называют противоположными?

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковые длины (модули) и противоположно направлены. Это означает, что для двух противоположных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ одновременно выполняются два условия:

1. Их длины (модули) равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

2. Их направления противоположны (они антипараллельны): $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, принято обозначать как $-\vec{a}$. Таким образом, если вектор $\vec{b}$ противоположен вектору $\vec{a}$, это можно записать в виде равенства $\vec{b} = -\vec{a}$.

Ключевым свойством противоположных векторов является то, что их сумма всегда равна нулевому вектору ($\vec{0}$), то есть вектору, у которого начало и конец совпадают. Математически это выражается формулой: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Если вектор задан своими координатами, то координаты противоположного ему вектора имеют противоположные знаки. Например, если в двумерном пространстве вектор $\vec{v}$ имеет координаты $\{x; y\}$, то противоположный ему вектор $-\vec{v}$ будет иметь координаты $\{-x; -y\}$.

В геометрическом смысле, если вектор представлен направленным отрезком, например, от точки A до точки B (вектор $\vec{AB}$), то противоположным ему будет вектор, идущий от точки B до точки A (вектор $\vec{BA}$). Таким образом, справедливо равенство $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

Ответ: Противоположными называются два ненулевых вектора, которые имеют равные модули (длины) и направлены в противоположные стороны.