Номер 4, страница 118 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Запишите равенства, выражающие свойства сложения векторов.

Сложение векторов подчиняется нескольким основным свойствам, которые выражаются следующими равенствами для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Переместительное (коммутативное) свойство

Сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых. Это означает, что если мы сначала отложим вектор $\vec{a}$, а затем из его конца отложим вектор $\vec{b}$, то получим тот же самый результирующий вектор, как если бы мы сначала отложили вектор $\vec{b}$, а затем из его конца — вектор $\vec{a}$.

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

Сочетательное (ассоциативное) свойство

При сложении трех и более векторов их можно группировать в любом порядке. Сумма векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, сложенная с вектором $\vec{c}$, равна вектору $\vec{a}$, сложенному с суммой векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Ответ: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

Свойство сложения с нулевым вектором

Существует такой вектор, называемый нулевым вектором ($\vec{0}$), который является нейтральным элементом для операции сложения. Сложение любого вектора с нулевым вектором не изменяет исходный вектор.

Ответ: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

Свойство существования противоположного вектора

Для каждого вектора $\vec{a}$ существует противоположный ему вектор, обозначаемый как $-\vec{a}$. Противоположный вектор имеет ту же длину (модуль), что и исходный, но направлен в противоположную сторону. Сумма вектора и его противоположного вектора равна нулевому вектору.

Ответ: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$