Номер 464, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

464. Периметр треугольника равен 48 см, а его биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки длиной 5 см и 15 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b$ и $c$. Периметр треугольника $P = a + b + c = 48$ см.

Пусть биссектриса, проведенная к стороне $a$, делит ее на отрезки длиной 5 см и 15 см. Тогда длина стороны $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = 5 + 15 = 20$ см.

Зная одну из сторон, мы можем найти сумму двух других сторон из формулы периметра:

$b + c = P - a = 48 - 20 = 28$ см.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это означает, что отношение двух других сторон треугольника ($b$ и $c$) равно отношению отрезков, на которые биссектриса разделила третью сторону:

$\frac{b}{c} = \frac{15}{5}$ или $\frac{b}{c} = \frac{5}{15}$.

Рассмотрим первый случай: $\frac{b}{c} = \frac{15}{5} = 3$. Отсюда $b = 3c$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases}b + c = 28 \\b = 3c\end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$3c + c = 28$

$4c = 28$

$c = \frac{28}{4} = 7$ см.

Теперь найдем сторону $b$:

$b = 3c = 3 \times 7 = 21$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 20 см, 21 см и 7 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника:$7 + 20 > 21$ (27 > 21 - верно)$7 + 21 > 20$ (28 > 20 - верно)$20 + 21 > 7$ (41 > 7 - верно)Треугольник с такими сторонами существует.

Если бы мы выбрали второе соотношение $\frac{b}{c} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$, то получили бы $c = 3b$. Решение системы привело бы к тем же длинам сторон, только $b$ и $c$ поменялись бы местами.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 20 см и 21 см.