Номер 459, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 13. Координаты вектора. Глава 4. Векторы - номер 459, страница 112.

Условие.

459. Модуль вектора $\vec{a}$ равен 10. Его первая координата на 2 больше второй. Найдите координаты вектора $\vec{a}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть координаты вектора $\vec{a}$ равны $(x; y)$.

Согласно условию, модуль вектора $|\vec{a}|$ равен 10. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле:
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Таким образом, получаем первое уравнение:
$\sqrt{x^2 + y^2} = 10$

Возведя обе части в квадрат, получим:
$x^2 + y^2 = 100$

Также, по условию, первая координата ($x$) на 2 больше второй ($y$). Это дает нам второе уравнение:
$x = y + 2$

Теперь решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ x = y + 2 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$(y + 2)^2 + y^2 = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(y^2 + 4y + 4) + y^2 = 100$
$2y^2 + 4y + 4 = 100$
$2y^2 + 4y - 96 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
$y^2 + 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -48. Этим условиям удовлетворяют числа 6 и -8.
$y_1 = 6$
$y_2 = -8$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 2$:

1. Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты (8; 6).

2. Если $y_2 = -8$, то $x_2 = -8 + 2 = -6$.
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты (-6; -8).

Задача имеет два решения.

Ответ: (8; 6) или (-6; -8).