Номер 462, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

462. Точки $A (1; 2)$ и $D (1; -6)$ – вершины прямоугольника $ABCD$. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 17. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: $A(1; 2)$ и $D(1; -6)$. Модуль вектора $\vec{AC}$ равен 17, что соответствует длине диагонали AC, то есть $|AC| = 17$.

Сначала найдем длину стороны AD. Так как у точек A и D одинаковая абсцисса ($x=1$), сторона AD является вертикальным отрезком. Ее длина равна модулю разности ординат:

$|AD| = |y_A - y_D| = |2 - (-6)| = |8| = 8$.

В прямоугольнике треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине D. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов катетов AD и DC:

$|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = 8^2 + |DC|^2$

$289 = 64 + |DC|^2$

$|DC|^2 = 289 - 64 = 225$

$|DC| = \sqrt{225} = 15$.

Поскольку сторона AD вертикальна, то смежная с ней сторона DC должна быть горизонтальна. Это означает, что ординаты точек D и C совпадают: $y_C = y_D = -6$. Зная координаты точки $D(1; -6)$ и длину стороны $|DC|=15$, мы можем найти абсциссу точки C. Существует два возможных варианта:

1. Абсцисса C больше абсциссы D: $x_C = x_D + 15 = 1 + 15 = 16$.

2. Абсцисса C меньше абсциссы D: $x_C = x_D - 15 = 1 - 15 = -14$.

Для каждого из двух возможных положений точки C найдем соответствующие координаты точки B. В прямоугольнике ABCD вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Пусть $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (x_B - 1, y_B - 2)$

$\vec{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (x_C - 1, -6 - (-6)) = (x_C - 1, 0)$

Из равенства векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует система уравнений:

$x_B - 1 = x_C - 1 \implies x_B = x_C$

$y_B - 2 = 0 \implies y_B = 2$

Таким образом, координаты точки B всегда $(x_C; 2)$.

Рассмотрим оба возможных случая:

Случай 1: Если $x_C = 16$, то координаты вершин: $C(16; -6)$ и $B(16; 2)$.

Случай 2: Если $x_C = -14$, то координаты вершин: $C(-14; -6)$ и $B(-14; 2)$.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: $B(16; 2)$ и $C(16; -6)$ или $B(-14; 2)$ и $C(-14; -6)$.