Номер 442, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

442. С помощью циркуля и линейки постройте точку, координаты которой равны координатам данного вектора $\vec{a}$ (рис. 103).

Пусть дан вектор $\vec{a}$, представленный на плоскости направленным отрезком $AB$ (где точка $A$ — начало вектора, а точка $B$ — его конец), и прямоугольная система координат $Oxy$.

Задача заключается в построении точки $P$, координаты которой $(x_P; y_P)$ равны соответствующим координатам вектора $\vec{a} = (a_x; a_y)$.

По определению, координаты точки в декартовой системе совпадают с координатами ее радиус-вектора, то есть вектора, проведенного из начала координат $O$ в эту точку. Таким образом, нам необходимо построить такую точку $P$, что ее радиус-вектор $\overrightarrow{OP}$ равен данному вектору $\vec{a}$.

Итак, задача сводится к построению вектора $\overrightarrow{OP}$, равного вектору $\overrightarrow{AB}$, который отложен от начала координат.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Если отложить от точки $O$ вектор, равный вектору $\overrightarrow{AB}$, то его концом будет такая точка $P$, что четырехугольник $OABP$ является параллелограммом. В этом параллелограмме стороны $OP$ и $AB$ равны и параллельны, что обеспечивает равенство векторов $\overrightarrow{OP}$ и $\overrightarrow{AB}$.

Следовательно, для нахождения точки $P$ необходимо построить четвертую вершину параллелограмма $OABP$, зная три его вершины: $O$ (начало координат), $A$ (начало вектора $\vec{a}$) и $B$ (конец вектора $\vec{a}$).

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:
1. С помощью циркуля измеряем длину данного вектора $\vec{a}$, то есть расстояние между точками $A$ и $B$.
2. Устанавливаем острие циркуля в начало координат (точку $O$) и проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $AB$. Искомая точка $P$ должна лежать на этой дуге, так как $|OP| = |AB|$.
3. С помощью циркуля измеряем расстояние от начала координат $O$ до начала вектора, точки $A$.
4. Устанавливаем острие циркуля в точку $B$ (конец вектора) и проводим вторую дугу радиусом, равным длине отрезка $OA$. Искомая точка $P$ должна лежать и на этой дуге, так как в параллелограмме $OABP$ противоположные стороны $BP$ и $OA$ равны.
5. Точка пересечения построенных дуг является искомой точкой $P$.

В результате построения мы получаем точку $P$, для которой $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$, и, следовательно, ее координаты равны координатам вектора $\vec{a}$.

Ответ: Искомая точка $P$ является четвертой вершиной параллелограмма $OABP$, где $O$ — начало координат, а $A$ и $B$ — соответственно начало и конец данного вектора $\vec{a}$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки путем нахождения точки пересечения двух дуг окружностей: одной с центром в точке $O$ и радиусом $|AB|$, и второй с центром в точке $B$ и радиусом $|OA|$.