Номер 4, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

Чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начальной и конечной точек, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Рассмотрим общее правило на примере двумерного и трехмерного пространства.

Пусть дан вектор $\vec{AB}$, где точка $A$ — его начало, а точка $B$ — его конец.

Для вектора на плоскости (в 2D):
Если точка начала $A$ имеет координаты $(x_1, y_1)$, а точка конца $B$ имеет координаты $(x_2, y_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$

Для вектора в пространстве (в 3D):
Если точка начала $A$ имеет координаты $(x_1, y_1, z_1)$, а точка конца $B$ имеет координаты $(x_2, y_2, z_2)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по аналогичной формуле:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

Пример:
Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, если известны координаты его начальной точки $C(2; -5)$ и конечной точки $D(-3; 4)$.
Вычитаем из координат точки $D$ (конца) соответствующие координаты точки $C$ (начала):
Первая координата: $-3 - 2 = -5$
Вторая координата: $4 - (-5) = 4 + 5 = 9$
Таким образом, вектор $\vec{CD}$ имеет координаты $(-5; 9)$.

Ответ: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и концом в точке $B(x_2, y_2, z_2)$ его координаты равны $(x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.